最大流问题之Ford-Fulkerson_ford-fulerson-优快云博客

本文详细介绍了Ford-Fulkerson算法解决最大流问题的核心概念，包括残留网络、增广路径和割的概念，并提供了算法的Java实现。

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最大流问题的Ford-Fulkerson解法。可是说这是一种方法，而不是算法，因为它包含具有不同运行时间的几种实现。该方法依赖于三种重要思想：残留网络，增广路径和割。本文将会详细介绍这些内容，下一篇文章我们提供一种该方法的Java实现。

在介绍着三种概念之前，我们先简单介绍下Ford-Fulkerson方法的基本思想。首先需要了解的是Ford-Fulkerson是一种迭代的方法。开始时，对所有的u,v属于V，f(u,v)=0(这里f(u,v)代表u到v的边当前流量)，即初始状态时流的值为0。在每次迭代中，可以通过寻找一个“增广路径”来增加流值。增广路径可以看做是从源点s到汇点t之间的一条路径，沿该路径可以压入更多的流，从而增加流的值。反复进行这一过程，直到增广路径都被找出为止。

举个例子来说明下，如图所示，每条红线就代表了一条增广路径，当前s到t的流量为3。

当然这并不是该网络的最大流，根据寻找增广路径的算法我们其实还可以继续寻找增广路径，最终的最大流网络如下图所示，最大流为4。

接下来我们就介绍如何寻找增广路径。在介绍增广路径之前，我们首先需要介绍残留网络的概念。

一、残留网络

顾名思义，残留网络是指给定网络和一个流，其对应还可以容纳的流组成的网络。具体说来，就是假定一个网络G=（V，E），其源点s，汇点t。设f为G中的一个流，对应顶点u到顶点v的流。在不超过C（u，v）的条件下（C代表边容量），从u到v之间可以压入的额外网络流量，就是边（u，v）的残余容量（residual capacity），定义如下：

r（u，v）=c（u，v）-f（u，v）

举个例子，假设（u，v）当前流量为3/4，那么就是说c（u，v）=4，f（u，v）=3，那么r（u，v）=1。

我们知道，在网络流中还有这么一条规律。从u到v已经有了3个单位流量，那么从反方向上看，也就是从v到u就有了3个单位的残留网络，这时r（v，u）=3。可以这样理解，从u到v有3个单位流量，那么从v到u就有了将这3个单位流量的压回去的能力。

我们来具体看一个例子，如下图所示一个流网络

其对应的残留网络为：

二、增广路径

在了解了残留网络后，我们来介绍增广路径。已知一个流网络G和流f，增广路径p是其残留网络Gf中从s到t的一条简单路径。形象的理解为从s到t存在一条不违反边容量的路径，向这条路径压入流量，可以增加整个网络的流值。上面的残留网络中，存在这样一条增广路径：

其可以压入4个单位的流量，压入后，我们得到一个新的流网络，其流量比原来的流网络要多4。这时我们继续在新的流网络上用同样的方法寻找增广路径，直到找不到为止。这时我们就得到了一个最大的网络流。

三、流网络的割

上面仅仅是介绍了方法，可是怎么证明当无法再寻找到增广路径时，就证明当前网络是最大流网络呢？这就需要用到最大流最小割定理。

首先介绍下，割的概念。流网络G（V，E）的割（S，T）将V划分为S和T=V-S两部分，使得s属于S，t属于T。割（S，T）的容量是指从集合S到集合T的所有边（有方向）的容量之和（不算反方向的，必须是S-àT）。如果f是一个流，则穿过割（S，T）的净流量被定义为f（S，T）（包括反向的，SàT的为正值，T—>S的负值）。将上面举的例子继续拿来，随便画一个割，如下图所示：

割的容量就是c(u,w)+c(v,x)=26

当前流网络的穿过割的净流量为f(u,w)+f(v,x)-f(w,v)=12+11-4=19

显然，我们有对任意一个割，穿过该割的净流量上界就是该割的容量，即不可能超过割的容量。所以网络的最大流必然无法超过网络的最小割。

可是，这跟残留网络上的增广路径有什么关系呢？

首先，我们必须了解一个特性，根据上一篇文章中讲到的最大流问题的线性规划表示时，提到，流网络的流量守恒的原则，根据这个原则我们可以知道，对网络的任意割，其净流量的都是相等的。具体证明是不难的，可以通过下图形象的理解下，

和上面的割相比，集合S中少了u和v，从源点s到集合T的净流量都流向了u和v，而在上一个割图中，集合S到集合T的流量是等于u和v到集合T的净流量的。其中w也有流流向了u和v，而这部分流无法流向源点s，因为没有路径，所以最后这部分流量加上s到u和v的流量，在u和v之间无论如何互相传递流，最终都要流向集合T，所以这个流量值是等于s流向u和v的值的。将s比喻成一个水龙头，u和v流向别处的水流，都是来自s的，其自身不可能创造水流。所以任意割的净流量都是相等的。

万事俱备，现在来证明当残留网络Gf中不包含增广路径时，f是G的最大流。

假设Gf中不包含增广路径，即Gf不包含从s到v的路径，定义S={v:Gf中从s到v存在一条通路}，也就是Gf中s能够有通路到达的点的集合，显然这个集合不包括t，因为s到t没有通路。这时，我们令T=V-S。那么（S，T）就是一个割。如下图所示：

那么，对于顶点u属于S，v属于T，有f（u，v）=c（u，v）。否则（u，v）就存在残余流量，因而s到u加上u到v就构成了一条s到v的通路，所以v就必须属于S，矛盾。因此这时就表明当前流f是等于当前的割的容量的，因此f就是最大流。

三. java实现

先借助伪代码熟悉下流程

FORD-FULKERSON（G，t，s）

1 for each edge(u,v)属于E（G）

2 do f[u,v]=0

3 f[v,u]=0

4 while there exists a path p from s to t in the residual network Gf

5 do cf(p)=min{cf(u,v):(u,v)is in p}

6 for each edge (u,v) in p

7 do f[u,v]=f[u,v]+cf(p)

8 f[v,u]=-f[u,v]

如果在4行中用广度优先搜索来实现对增广路径p的计算，即找到s到t的最短增广路径，能够改进FORD-FULERSON的界，这就是Ford-Fulkerson方法的Edmonds-Karp算法

证明该算法的运行时间为O（VE*E），易知，对流增加的全部次数上界为O（VE），每次迭代时间O（E）

class FordFulkerson
	{
		private double residualNetwork[][]=null;
		private double flowNetwork[][]=null;
		
		public final int N;
		int parent[];
		public FordFulkerson(int N)
		{
			this.N=N;
			parent=new int[N];
		}
		/**
		 * 实现FordFulkerson方法的一种算法——edmondsKarp算法
		 * @param graph
		 * @param s
		 * @param t
		 * @return
		 */
		public double edmondsKarpMaxFlow(double graph[][],int s,int t)
		{
			int length=graph.length;
			double f[][]=new double[length][length];
			for(int i=0;i<length;i++)
			{
				Arrays.fill(f[i], 0);
			}
			double r[][]=residualNetwork(graph,f);
			double result=augmentPath(r,s,t);
			
			double sum=0;
			
			while(result!=-1)
			{
				int cur=t;
				while(cur!=s)
				{
					f[parent[cur]][cur]+=result;
					f[cur][parent[cur]]=-f[parent[cur]][cur];
					r[parent[cur]][cur]-=result;
					r[cur][parent[cur]]+=result;
					cur=parent[cur];
				}
				
				sum+=result;
				result=augmentPath(r,s,t);
			}
			
			residualNetwork=r;
			flowNetwork=f;
			
			return sum;
		}

		/**
		 * deepCopy
		 * @param c
		 * @param f
		 * @return
		 */
		private double[][] residualNetwork(double c[][],double f[][]) {
			int length=c.length;
			double r[][]=new double[length][length];
			for(int i=0;i<length;i++)
			{
				for(int j=0;j<length;j++)
				{
					r[i][j]=c[i][j]-f[i][j];
				}
			}
			
			return r;
		}

		/**
		 * 广度优先遍历，寻找增光路径，也是最短增广路径
		 * @param graph
		 * @param s
		 * @param t
		 * @return
		 */
		public double augmentPath(double graph[][],int s,int t)
		{
			
			double maxflow=Integer.MAX_VALUE;
			Arrays.fill(parent, -1);
			Queue<Integer> queue=new LinkedList<Integer>();
			queue.add(s);
			parent[s]=s;

			while(!queue.isEmpty())
			{
				int p=queue.poll();
				if(p==t)
				{
					while(p!=s)
					{
						if(maxflow>graph[parent[p]][p])
							maxflow=graph[parent[p]][p];
						p=parent[p];
					}
					break;
				}
				for(int i=0;i<graph.length;i++)
				{
					if(i!=p&&parent[i]==-1&&graph[p][i]>0)
					{
						//flow[i]=Math.min(flow[p], graph[p][i]);
						parent[i]=p;
						queue.add(i);
					}
				}
			}
			if(parent[t]==-1)
				return -1;
			return  maxflow;
			
		}

		public double[][] getResidualNetwork() {
			return residualNetwork;
		}

		public double[][] getFlowNetwork() {
			return flowNetwork;
		}
	}

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