信号频域分析的一点理解

最新推荐文章于 2025-06-30 11:10:23 发布

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本文为信号处理新手详细解读傅里叶变换中的模与相位概念，通过复数、虚数意义及三维频谱图示，帮助理解实信号的傅里叶变换过程，适用于信号处理入门学习。

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刚刚学信号处理时，我对傅里叶变换很不理解，尤其是什么是模？什么是相位？感觉很朦胧，这篇博客就算是写给和我当初有一样困惑的信号处理入门新人吧，大佬们请忽视。另外如果有不正确的地方，请大家提出来。

为了理解模与相位，首先就要对复数有一个清晰的认识。对于一个复数有以下这两种表示方式 $a+jb$ 、 $ce^{\phi }$ ，这两种方式在复平面上分别如下所示。一个复数看作复平面上的一个向量 $(a,b)$ ，复数的两种表示方式就是解析形式 $a+jb$ ，和幅角形式 $ce^{\phi }$ ， $c$ 是向量的幅度， $\phi$ 是向量的相位角。

对于虚数 $j$ ，它代表了复平面上向量的旋转。 $j=e^{j\frac{\pi}{2}}=0+1j=(0,1)$ ，因此乘以 $j$ 相当于逆时针旋转 $\frac{\pi}{2}$ 。如下图所示，

掌握了复数、虚数的意义后，我们再来看现实中信号都是实信号，以一个最通用的信号 $x(t)=sin(2\pi f_{0}t)$ 为例，由欧拉公式可以知道， $sin(x)=\frac{e^{jx}-e^{-jx}}{2j}$ ，所以上述信号 $x(t)=sin(2\pi f_{0}t)=\frac{e^{j2\pi f_{0}t}-e^{-j2\pi f_{0}t}}{2j}$ ，这两项e的复指数项的傅里叶变换就是两个单位冲激函数。通常在教科书或者用Matlab做傅里叶变换时，都会得到一个幅度频率响应、相位频率响应如下所示。

我刚刚学的时候就感觉这个很抽象。其实傅里叶变换后的频谱是个复数，那么用一个三维图像（实部、虚部、频率）表示其实更清晰，其实我觉得教科书如果用这种方式展示的话，会非常利于教学的，不信请往下看。

一个实信号 $x(t)=sin(2\pi f_{0}t)$ 经过傅里叶变换后，其频谱在（实部、虚部、频率）三维空间中的图像，也就是它的频谱如上图所示，这么看就能更清楚地看出来它的频谱的模和相位了。更详细的变换过程如下图所示。

上图展示了详细的对 $x(t)=sin(2\pi f_{0}t)$ 的傅里叶变换的过程。首先根据欧拉公式 $x(t)=sin(2\pi f_{0}t)=\frac{e^{j2\pi f_{0}t}-e^{-j2\pi f_{0}t}}{2j}$ ，那么对 $x(t)=sin(2\pi f_{0}t)$ 的傅里叶变换就可以看成对 $x(t)=\frac{e^{j2\pi f_{0}t}}{2j}$ 、 $x(t)=-\frac{e^{-j2\pi f_{0}t}}{2j}$ 这两项傅里叶变换之和。这两项的傅里叶变换又分别可以看成对 $x(t)=e^{j2\pi f_{0}t}$ 、 $x(t)=-e^{-j2\pi f_{0}t}$ 的傅里叶变换再乘以 $\frac{1}{2j}$ 。由之前对于虚数的意义的描述可以知道，乘以 $\frac{1}{2j}$ ，相当于在复平面上做顺时针直角旋转。因此如上图所示， $x(t)=e^{j2\pi f_{0}t}$ 对应的傅里叶变换顺时针旋转90度， $x(t)=-e^{-j2\pi f_{0}t}$ 对应的傅里叶变换顺时针旋转90度再取负，相当于逆时针旋转90度。

对于任何信号，都可以看成正弦信号的线性组合，因此可以由正弦信号的变换过程，举一反三出任以信号。对于任意信号，想象出它的谱在（实部、虚部、频率）三维空间上的图形，更加有利于理解。下面举一个例子。

一个带限实信号 $x(t)$ 通过一个线性时不变系统 $h(t)$ ，输出 $y(t)$ 。这个例子中，线性时不变系统 $H(f)=e^{j\phi}$ ，即它只改变输入信号的相位，不改变幅值。那么一个带限实信号 $x(t)$ 通过该系统的输出 $y(t)$ ，与 $x(t)$ 的谱如上图所示。 $X(f)$ 只在实部取值，经过 $H(f)=e^{j\phi}$ 后， $Y(f)=X(f)e^{j\phi}$ 即相对于 $X(f)$ ，只是相位角上有改变，幅度无变化。那么如上图所示，谱向虚轴方向旋转了 $\phi$ 。