信号频域分析的一点理解

本文为信号处理新手详细解读傅里叶变换中的模与相位概念,通过复数、虚数意义及三维频谱图示,帮助理解实信号的傅里叶变换过程,适用于信号处理入门学习。

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刚刚学信号处理时,我对傅里叶变换很不理解,尤其是什么是模?什么是相位?感觉很朦胧,这篇博客就算是写给和我当初有一样困惑的信号处理入门新人吧,大佬们请忽视。另外如果有不正确的地方,请大家提出来。

为了理解模与相位,首先就要对复数有一个清晰的认识。对于一个复数有以下这两种表示方式a+jbce^{\phi },这两种方式在复平面上分别如下所示。一个复数看作复平面上的一个向量(a,b),复数的两种表示方式就是解析形式a+jb,和幅角形式ce^{\phi }c是向量的幅度,\phi是向量的相位角。

对于虚数j,它代表了复平面上向量的旋转。j=e^{j\frac{\pi}{2}}=0+1j=(0,1),因此乘以j相当于逆时针旋转\frac{\pi}{2}。如下图所示,

掌握了复数、虚数的意义后,我们再来看现实中信号都是实信号,以一个最通用的信号x(t)=sin(2\pi f_{0}t)为例,由欧拉公式可以知道,sin(x)=\frac{e^{jx}-e^{-jx}}{2j},所以上述信号x(t)=sin(2\pi f_{0}t)=\frac{e^{j2\pi f_{0}t}-e^{-j2\pi f_{0}t}}{2j},这两项e的复指数项的傅里叶变换就是两个单位冲激函数。通常在教科书或者用Matlab做傅里叶变换时,都会得到一个幅度频率响应、相位频率响应如下所示。

我刚刚学的时候就感觉这个很抽象。其实傅里叶变换后的频谱是个复数,那么用一个三维图像(实部、虚部、频率)表示其实更清晰,其实我觉得教科书如果用这种方式展示的话,会非常利于教学的,不信请往下看。

一个实信号x(t)=sin(2\pi f_{0}t)经过傅里叶变换后,其频谱在(实部、虚部、频率)三维空间中的图像,也就是它的频谱如上图所示,这么看就能更清楚地看出来它的频谱的模和相位了。更详细的变换过程如下图所示。

上图展示了详细的对x(t)=sin(2\pi f_{0}t)的傅里叶变换的过程。首先根据欧拉公式x(t)=sin(2\pi f_{0}t)=\frac{e^{j2\pi f_{0}t}-e^{-j2\pi f_{0}t}}{2j},那么对x(t)=sin(2\pi f_{0}t)的傅里叶变换就可以看成对x(t)=\frac{e^{j2\pi f_{0}t}}{2j}x(t)=-\frac{e^{-j2\pi f_{0}t}}{2j}这两项傅里叶变换之和。这两项的傅里叶变换又分别可以看成对x(t)=e^{j2\pi f_{0}t}x(t)=-e^{-j2\pi f_{0}t}的傅里叶变换再乘以\frac{1}{2j}。由之前对于虚数的意义的描述可以知道,乘以\frac{1}{2j},相当于在复平面上做顺时针直角旋转。因此如上图所示,x(t)=e^{j2\pi f_{0}t}对应的傅里叶变换顺时针旋转90度,x(t)=-e^{-j2\pi f_{0}t}对应的傅里叶变换顺时针旋转90度再取负,相当于逆时针旋转90度。

对于任何信号,都可以看成正弦信号的线性组合,因此可以由正弦信号的变换过程,举一反三出任以信号。对于任意信号,想象出它的谱在(实部、虚部、频率)三维空间上的图形,更加有利于理解。下面举一个例子。

一个带限实信号x(t)通过一个线性时不变系统h(t),输出y(t)。这个例子中,线性时不变系统H(f)=e^{j\phi},即它只改变输入信号的相位,不改变幅值。那么一个带限实信号x(t)通过该系统的输出y(t),与x(t)的谱如上图所示。X(f)只在实部取值,经过H(f)=e^{j\phi}后,Y(f)=X(f)e^{j\phi}即相对于X(f),只是相位角上有改变,幅度无变化。那么如上图所示,谱向虚轴方向旋转了\phi

对于线性相位的线性时不变系统,例如FIR滤波器而言,其实分析的过程是类似的,但是我手工三维画图能力有限,那种三维上还加上旋转的图我画不出,但是我觉得经过这么一番讲解后,大家应该能够想象出各种变换后的谱在(实部、虚部、频率)三维空间的样子了吧。那么对谱的幅度、相位的理解也就更加清楚了吧。

最后,我希望大家帮我挑挑错,如果可以,也希望大神帮我补充补充。提前谢谢各位了!

 

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