逆矩阵的计算

1.定义

设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E。 则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。

2.计算

若|A|≠0，则矩阵A可逆，且

其中，A *为矩阵A的伴随矩阵。

伴随矩阵

A的伴随 矩阵可按如下步骤定义：

1.把D的各个元素都换成它相应的 代数余子式；

（代数余子式定义：在一个n阶 行列式A中,把

   

元

   

所在的第

   

行和第

   

列划去后，留下来的

   

阶 行列式叫做

 

元

   

的余子式，记作

   

;即

 

，

 

叫做

   

元

   

的代数余子式）

注意：其中所求的

   

为一个数值，并非矩阵。

2.将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵，

补充：（实际求解伴随矩阵即A*=adj（A）：去除 A的行列式D中 元素

   

对应的第

   

行和第

   

列得到的新 行列式D1代替 aij，这样就不用转置了）

即： n阶方阵的伴随矩阵A*为

例如：A是一个2x2矩阵，

则由A可得 Aij (I,j=1,2)为代数余子式

此图片为相应代数余子式的计算过程。

则A的伴随矩阵 A* 为

即

（余子式定义：A关于第i 行第j 列的 余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(m -1)×(n - 1)矩阵的行列式。特殊规定：一阶矩阵的伴随矩阵为一阶单位方阵）

注意：在matlab中一阶矩阵的伴随矩阵是空矩阵。