最小生成树算法

最新推荐文章于 2020-10-15 16:04:26 发布

小小小小杜

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分类专栏： acm 最小生成树贪心文章标签：最小生成树算法

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本文详细介绍了最小生成树的概念，并重点解析了Kruskal和Prim两种贪心算法，包括它们的基本思想、时间复杂度及适用场景。通过具体的例子展示了算法的实现过程，帮助读者深入理解最小生成树的构建方法。

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最小生成树算法是给定一个无向图，及其顶点和边的权值，在确保所有顶点都是连通即整个无向图的连通分量为1的情况下使得所有边的权值之和最小的算法，这个时候其实图已经退化为树了。

下面介绍一下最小生成树的两种算法：kruskal算法和prim算法。它们都属于贪心算法，只是贪心的理解角度不同导致的两种算法。对于最小生成树，最简单的最优度量准则是：选择迄今为止已入选S中边的代价之和增量最小的边。（其中S代表已经入选最小生成树集合的边）

一）kruskal算法：

贪心准则：按边的权值非降序考察E中的边，从中选择一条代价最小的边。这种做法使得算法在构造生成树的过程中，边集S代表的子图不一定是连通的，而且为了确保最终得到一棵生成树，每选择一条边时都需要判断SUe是否包含回路。时间复杂度为0(eloge)，其中e为图中边的个数，需要结合并查集解决。适合在稀疏图中。

二）prime算法：

贪心准则为：在保证S所代表的子图是一棵树的前提下选择一条最小代价边e=(u,v)。由于其选边方式已经确保S所代表的子图自然是一棵树。故无需判断边集SUe是否包含回路。

时间复杂度为O(n*n)，适合在n比较小的情况下。

两种算法的实现分别如下：

prim算法的思想是加点法。即开始时任意从图中选择一个点，作为U集合，其余点为S-U集合，其中S为原图中的顶点集合，求U集合中顶点到S-U集合中顶点的最小距离，这个最小距离即为最小生成树的组成边，然后将对应最小距离的S-U集合的顶点放入U集合，然后重复执行上述操作，直至U集合=S集合。

而kruskal算法则是加边法，即将图的边先从小到大排序，然后结合并查集依次加边，注意不能形成环，这也是并查集的作用，每次成功加入的边即为最小生成树的组成边。下面是代码：

//图的邻接矩阵表示法
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define Max 100
#define Inf 0x1111
typedef char type;
typedef struct Grap{
	type data[Max];
	int value[Max][Max];
	int n,m;
}Grap,*pgrap;
struct Adjtrim{
     int index;
     int dis;
}trim[Max];	 
int Located(pgrap g,char ch){
	for(int i=0;i<g->n;i++)
		if(g->data[i]==ch)
			return i;
}
void Creat_grap(pgrap g){
	printf("输入图的顶点数和边数:\n");
	scanf("%d%d",&g->n,&g->m);
	//printf("ksgfdkj\n");
	getchar();
	printf