线性分组码

线性分组码

线性分组码的概念

线性码中信息位和监督位是由一些线性代数方程联系着的，或者说线性码使按照一组线性方程构成的。汉明码是一种能够纠正一位错码并且编码效率较高的线性分组码。下面将介绍汉明码的构造原理。

汉明码的构造原理

一般来说，若码字长度为$n$，信息位位数为$k$，则监督位数$r=n-k$。若果希望用$r$个监督位构造出$r$个监督关系式来只是一位错码在码字中的n中可能位置，则要求：
$$2^r-1\ge nor{2}^r\ge k+r+1\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

下面通过一个例子来具体说明如何构造这些关系式：
设分组码$(n,k)$中$k=4$，则为了纠正一位错码，要求监督位数 , 若取$r=3$，则$n=k+r=7$用 $a_6{a}_5{a}_4...a_0$来表示这7个码元，用 $S_1，S_2，S_3$表示三个监督关系式中的校正子（伴随式）。则$S_1，S_2，S_3$ 的值与错码位置的对应关系可以规定如下表所示。

表1.1校正子与错误码的关系

$S_1{S}_2{S}_3$	错码位置	$S_1{S}_2{S}_3$	错码位置
001	$a_0$	101	$a_4$
010	$a_1$	110	$a_5$
100	$a_{\mathrm{２}}$	111	$a_{\mathrm{６}}$
011	$a_3$	000	无错码

由表中分析可知，仅当一位错码的位置在$a_2,a_4,a_5,a_6$时，校正子$S_1$的值为1，否则为0。这就意味着$a_2,a_4,a_5,a_6$构成偶数监督关系：
$$S_1=a_6\oplus a_5\oplus a_4\oplus a_2\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

同理$a_1,a_3,a_5,a_6$构成监督关系: $a_1,a_3,a_5,a_6$
$$S_2=a_6\oplus a_5\oplus a_3\oplus a_1\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

a0,a3,a5,a6a_0,a_3,a_5,a_6a0​,a