ZOJ 3768(暴搜+数学)

最新推荐文章于 2019-07-11 16:56:32 发布

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博客探讨了ZOJ 3768题目的解决方案，涉及三角形数的数学性质，如公式、与其它数的关系以及特殊性质。文章指出三角形数乘以9加1仍是三角形数，其倒数之和为2，并提供了检验正整数是否为三角形数的方法。还讨论了回文式和偶完美数与三角形数的联系。

题目链接：点击打开链接

题目分析：一看数字就很奇妙，原来是三角形数：点击打开链接

一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数。比如10个点可以组成一个等边三角形，因此10是一个三角形数：

一开始的18个三角形数是1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120、136、153、171……（OEIS中的数列A000217）

三角形数

一个三角数乘以9加上1仍是一个三角数。三角数的二倍的平方根取整，是这个三角数的序数。

性质

第n个三角形数的公式是 $\frac {n (n+1)}{2}$ 。

第n个三角形数是开始的n个自然数的和。
所有大于3的三角形数都不是质数。
开始的n个立方数的和是第n个三角形数的平方（举例：1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10²）
所有三角形数的倒数之和是2。
任何三角形数乘以8再加1是一个平方数。
一部分三角形数（3、10、21、36、55、78……）可以用以下这个公式来表示： $n*(2n+1)$ ；而剩下的另一部分（1、6、15、28、45、66……）则可以用 $n*(2n-1)$ 来表示。
一种检验正整数x是否三角形数的方法，是计算：

$n = \frac{\sqrt{8x+1}-1}{2}.$

如果n是整数，那么x就是第n个三角形数。如果n不是整数，那么x不是三角形数。这个检验法是基于恒等式 $8T_n + 1 = S_{2n + 1}.$

特殊的三角形数[编辑]

55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形数。
第11个三角形数（66）、第1111个三角形数（617,716）、第111,111个三角形数（6,172,882,716）、第11,111,111个三角形数（61,728,399,382,716）都是回文式的三角形数，但第111个、第11,111个和第1,111,111个三角形数不是。

它与其他数的关系[编辑]

是否在相继出现的三角形数之间至少存在一个素数,在9000000以下的数目是正确的。
四面体数是三角形数在立体的推广。
两个相继的三角形数之和是平方数。
三角平方数是同时为三角形数和平方数的数。
三角形数属于一种多边形数。
所有偶完美数都是三角形数。
任何自然数是最多三个三角形数的和。高斯发现了这个规律，他在1796年7月10日在日记中写道：EYPHKA! num = Δ + Δ + Δ

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include<cmath>

using namespace std;
int data[20000],l,r,maxn,pos;
bool binary(int n)
{
     l=1,r=pos-1;
     int tmp;
     while(l<=r)
     {
         tmp=data[l]+data[r];
         if(tmp==n)
         return true;
         if(tmp>n)
         r--;
         else
         l++;
     }
     return false;
}
int main()
{
    int t,n,i;
    scanf("%d",&t);
    data[0]=0;
    for(i=1; i<20000; i++)
    {
        data[i]=data[i-1]+i;
       // printf("%d  ",data[i]);
        if(data[i]>123456789)
            break;
    }
    maxn=i;
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        pos=lower_bound(data,data+maxn+1,n)-data;
        if(data[pos]==n)
            printf("%d\n",pos);
        else
        {
            //2个组合
            if(binary(n))
            {
                printf("%d %d\n",l,r);
            }
            else
            {
                for(i=1;i<pos;i++)
                {
                    if(binary(n-data[i]))
                    {
                        printf("%d %d %d\n",i,l,r);
                        break;
                    }
                }
            }

        }

    }
}