The termination conditions about the binary search

本文探讨了二分搜索算法的实现细节,包括如何避免死循环等问题。通过具体实例介绍了不同循环条件的应用场景,并提供了两种不同的实现方式来解决LeetCode上的H指数II问题。

About some thoughts of binary search:

To avoid some confusion of the binary search, like dead-loop or something.

Every time i write binary search, i always use the 'while' condition like this:

int l = 0;
int r = nums.size()-1;

while (l < r-1) {
// insert the specific code
} 


And then to check both the nums[l] and nums[r] with the final result.

This way could definitely eliminate the possibility of  dead-loop, like 'l' always be the 'mid', and 'mid' always equals to 'l'.

But this way is not very elegant, so, when could we use the condition like:

while (l<r) {
// insert the code here
}


To do like this way, we need have condition like:

while (l < r) {
            int mid = l + (r - l) / 2;
            if (citations[mid] >= size-mid) r = mid;
            else l = mid + 1; // The key
}


So if, l = mid + 1, then we could use while (l < r).

Like the following problem: https://leetcode.com/problems/h-index-ii/

Both solution can reach the correct answer:

// First Edition
class Solution {
public:
    int hIndex(vector<int>& citations) {
        if ((int)citations.size() == 0) return 0;
        int size = (int)citations.size();
        int l = 0;
        int r = size - 1;
        while (l < r-1) {
            int mid = l + (r - l) / 2;
            if (citations[mid] >= size-mid) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        if (citations[l] >= size - l) return size-l;
        else if (citations[r] >= size - r) return size-r;
        return 0;
    }
};

// We can also write like this
class Solution {
public:
    int hIndex(vector<int>& citations) {
        if ((int)citations.size() == 0) return 0;
        int size = (int)citations.size();
        int l = 0;
        int r = size - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + (r - l) / 2;
            if (citations[mid] >= size-mid) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        if (citations[r] != 0)
            return size-r;
        return 0;
    }
};









<think>嗯,用户提到的问题是关于在优化过程中,函数和梯度评估次数超过10次导致搜索终止,提示可能是搜索方向不佳。我需要先理解这个问题的背景和可能的原因。首先,优化算法,比如梯度下降,通常会在每次迭代中进行线搜索来确定合适的步长。如果线搜索过程中需要多次函数和梯度的评估,这可能意味着当前的搜索方向不够有效,导致算法难以找到满足条件的步长,从而影响收敛效率。 根据用户提供的引用[^1],里面提到计算梯度虽然会增加开销,但能更谨慎地选择参数,从而缩短寻找最优解的路径。这可能意味着梯度计算或使用方式存在问题,比如梯度不准确,或者搜索方向没有正确利用梯度信息。 接下来,我需要考虑可能的原因和解决方案。首先,检查梯度计算的正确性。如果梯度有误,那么搜索方向就会出错,导致线搜索失败。其次,学习率或步长的初始设置可能不合适,导致需要多次调整。另外,目标函数可能存在高曲率或病态条件,这时候可能需要使用更高级的优化方法,比如共轭梯度法或拟牛顿法,这些方法可以更好地处理这种情况。 然后,用户的问题中提到“more than 10 function and gradient evaluations in last line search termination”,这可能意味着线搜索算法(如Armijo或Wolfe条件)在满足条件前需要多次尝试。这时候可能需要调整线搜索的参数,比如放宽条件,或者改用不同的线搜索策略。 另外,预处理或缩放变量也是一个可能的解决方案,特别是当不同变量的尺度差异较大时,这会导致优化路径曲折,增加评估次数。使用自适应方法,如Adam优化器,可以自动调整学习率,可能减少此类问题。 总结可能的解决步骤:验证梯度正确性,调整线搜索参数,改用更鲁棒的优化算法,预处理数据,检查函数平滑性,调整初始步长。同时,需要根据具体问题的情况来选择合适的策略,比如如果是高维问题,可能需要考虑随机梯度下降或其他适用于高维的方法。 最后,生成相关问题需要考虑用户可能进一步想知道如何验证梯度,或者不同优化算法的比较,以及预处理的具体方法等。</think>关于优化过程中因函数和梯度评估次数过多导致终止的问题,通常与搜索方向或步长策略有关。以下是系统性解决方案: ### 原因分析 1. **病态Hessian矩阵**:目标函数曲率变化剧烈时,梯度方向与实际下降方向偏差大 2. **不精确梯度计算**:数值微分误差会累积影响搜索方向 3. **步长策略缺陷**:固定步长或自适应策略未考虑局部曲率特征 4. **高维空间特性**:维数灾难导致搜索方向有效性降低(如用户引用所述的高维参数空间问题) ### 解决方案 1. **梯度验证** ```python # 数值梯度验证示例 def gradient_check(f, x, eps=1e-5): grad = [] for i in range(len(x)): x_plus = x.copy() x_plus[i] += eps x_minus = x.copy() x_minus[i] -= eps grad_i = (f(x_plus) - f(x_minus)) / (2*eps) grad.append(grad_i) return np.array(grad) ``` 比较解析梯度与数值梯度差异应小于$10^{-7}$ 2. **改进线搜索** 采用强Wolfe条件: $$ \phi(\alpha) \leq \phi(0) + c_1\alpha\phi'(0) $$ $$ |\phi'(\alpha)| \leq c_2|\phi'(0)| $$ 其中$0 < c_1 < c_2 < 1$,推荐$c_1=10^{-4}, c_2=0.9$ 3. **调整优化算法** - 对病态问题使用BFGS拟牛顿法: $$ B_{k+1} = B_k - \frac{B_ks_ks_k^TB_k}{s_k^TB_ks_k} + \frac{y_ky_k^T}{y_k^Ts_k} $$ 其中$s_k = x_{k+1}-x_k$, $y_k = \nabla f_{k+1}-\nabla f_k$ 4. **参数预处理** 对输入变量进行标准化: $$ \tilde{x}_i = \frac{x_i - \mu_i}{\sigma_i} $$ 可改善Hessian矩阵的条件数 ### 实施示例 ```python from scipy.optimize import minimize def optimize_with_bfgs(f, grad, x0): result = minimize(f, x0, method='BFGS', jac=grad, options={'gtol': 1e-6, 'maxiter': 1000}) return result.x ```
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值