基于分支限界法的旅行商问题（TSP）一

旅行推销员问题（ 英语：Travelling salesman problem, TSP）是这样一个问题：给定一系列城市和每对城市之间的距离，求解访问每一座城市一次并回到起始城市的最短回路。它是组合优化中的一个NP困难问题，在运筹学和理论计算机科学中非常重要。

分支限界法在上一篇Blog中我有简单说明，并给出了基于分支界限法的Dijkstra ，这篇文章里介绍一下基于分支限界法的TSP算法。

对于TSP，我们需要利用上界和下界来对BFS进行剪枝，通过不断更新上界和下界，尽可能的排除不符合需求的child，以实现剪枝。最终，当上限和下限等同时，我们可以获得最优的BFS解，以解决TSP问题。

在第一篇中，我们用dfs获取上界，用每行矩阵最小值来获取下界。

代码如下，下面代码中，我采用贪心法（使用DFS暴力搜索到一个结果）来获取最初的上界，通过累加每行旅行商矩阵中的最小值来获取一个下界。

//分支限界法
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<queue>
const int INF = 100000;
const int MAX_N = 22;
using namespace std;
//n*n的一个矩阵
int n;
int cost[MAX_N][MAX_N];//最少3个点，最多MAX_N个点
struct Node
{
    bool visited[MAX_N];//标记哪些点走了
    int s;//第一个点
    int s_p;//第一个点的邻接点
    int e;//最后一个点
    int e_p;//最后一个点的邻接点
    int k;//走过的点数
    int sumv;//经过路径的距离
    int lb;//目标函数的值（目标结果）
    bool operator <(const Node &p)const
    {
        return p.lb < lb;//目标函数值小的先出队列
    }
};
priority_queue<Node> pq;//创建一个优先队列
int low, up;//下界和上界
bool dfs_visited[MAX_N];//在dfs过程中搜索过

                        //确定上界,利用dfs（属于贪心算法），贪心法的结果是一个大于实际值的估测结果