【CF908E】New Year and Entity Enumeration

最新推荐文章于 2020-08-19 18:06:06 发布

三级头不怕通

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分类专栏： codeforces 数学基础

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本文探讨了一种特定集合计数问题，对于给定的集合T，在满足特定约束条件下找到包含该集合的所有可能的“好”集合S的数量。通过分析集合内元素之间的逻辑运算关系，提出了一种高效的算法解决方案，并通过代码实现了解决方案。

https://www.cnblogs.com/CQzhangyu/p/8227408.html

http://www.mamicode.com/info-detail-2146477.html

题意：给定M=2m−1M=2m−1，我们称一个集合S是好的，当且仅当它满足：1.∀a∈S,a xor M∈S∀a∈S,a xor M∈S，2.∀a,b∈S,a and b∈S∀a,b∈S,a and b∈S，3.∀a∈S,a≤M∀a∈S,a≤M。

现在给定集合T，求有多少个好的集合S，满足T是S的子集。

m<=1000,|T|<=50。

题解：显然有了与和取反以后，我们还可以实现或和异或。如果给定T以后，我们对T中的数进行运算能得到什么数呢？容易发现如果二进制位a和位b如果在所有数中都是相同的，那么造出来的数也一定满足位a和位b是相同的。所有满足这个条件的数我们都能造出来。

也就是说，我们只需要确定S中哪些位是始终相同的，即把m个物品分到若干个集合的方案数（Bell数），用m2m2的DP很容易求出。

但是由于要求T是S的子集，相当于认为的将某些物品分到了一起，我们可以对每个位置维护一个|T|位二进制状态，如果两个位置的状态是不同的，则这两个位置不是始终相同的，则S中对应位置也不能始终相同。所以我们可以对所有相同的状态，代入Bell数求出方案，再将不同状态的方案数乘到一起即可。

挖坑过会来看

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll P=1000000007;
bool ban[1010][1010];
int bel[1010];
int n,m;
ll ans;
ll tag[1010],f[1010][1010],s[1010];
char str[1010];
int main()
{
    scanf("%d%d",&m,&n);
    int i,j,siz;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%s",str+1);
        for(j=1;j<=m;j++)    if(str[j]=='1') tag[j]|=1ll<<(i-1);
    }
    ans=f[0][0]=1;
    for(i=1;i<=m;i++)    for(j=1;j<=i;j++)    f[i][j]=(f[i-1][j]*j+f[i-1][j-1])%P,s[i]=(s[i]+f[i][j])%P;
    for(i=1;i<=m;i++)    if(!bel[i])
    {
        siz=0;
        for(j=i;j<=m;j++)    if(tag[j]==tag[i])  bel[j]=i,siz++;
        ans=ans*s[siz]%P;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}