NY--67 -- 三角形面积 [水] [几何]

 

三角形面积

 
时间限制:3000 ms  |  内存限制:65535 KB
难度:2
  描述

给你三个点,表示一个三角形的三个顶点,现你的任务是求出该三角形的面积

 

输入

每行是一组测试数据,有6个整数x1,y1,x2,y2,x3,y3分别表示三个点的横纵坐标。(坐标值都在0到10000之间)
输入0 0 0 0 0 0表示输入结束
测试数据不超过10000组

输出

输出这三个点所代表的三角形的面积,结果精确到小数点后1位(即使是整数也要输出一位小数位)

样例输入 0 0 1 1 1 3
0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0   样例输出 1.0
0.5

Code:

向量叉积

 

 
#include"stdio.h"
#include"math.h"
int main()
{
	int x1,x2,x3,y1,y2,y3;
	double ans;
	while(scanf("%d%d%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2,&x3,&y3),x1||x2||x3||y1||y2||y3)
	{
		ans = fabs((x2-x1)*(y3-y1) - (y2-y1)*(x3-x1))*0.5;
		printf("%.1f\n",ans);
	}
	return 0;
}         
### 定义 三角形的外心是指其 **外接圆** 的圆心,即通过三个顶点作一个唯一的圆,该圆的中心称为外心。对于任意不共线的三点 \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\), 和 \(C(x_3, y_3)\),可以唯一确定一个外接圆及其外心。 外心具有以下特性: - 外心到三角形三个顶点的距离相等。 - 如果三角形是锐角三角形,则外心位于三角形内部;如果是直角三角形,则外心位于斜边中点处;如果钝角三角形,则外心位于外部[^1]。 --- ### 计算方法 #### 方法一:解析几何法 设三角形的三个顶点分别为 \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\), 和 \(C(x_3, y_3)\)。可以通过解方程组来找到外心坐标 \((x_c, y_c)\): 1. 假设外接圆的标准形式为 \((x-x_c)^2 + (y-y_c)^2 = r^2\),其中 \((x_c, y_c)\) 是外心坐标,\(r\) 是半径。 2. 将三个顶点代入上述标准方程得到三个约束条件: $$ (x_1 - x_c)^2 + (y_1 - y_c)^2 = r^2, $$ $$ (x_2 - x_c)^2 + (y_2 - y_c)^2 = r^2, $$ $$ (x_3 - x_c)^2 + (y_3 - y_c)^2 = r^2. $$ 3. 展开并消去 \(r^2\) 后可得两个独立的线性方程: $$ 2(x_2 - x_1)x_c + 2(y_2 - y_1)y_c = x_2^2 - x_1^2 + y_2^2 - y_1^2, $$ $$ 2(x_3 - x_2)x_c + 2(y_3 - y_2)y_c = x_3^2 - x_2^2 + y_3^2 - y_2^2. $$ 4. 解以上二元一次方程即可获得外心坐标 \((x_c, y_c)\)[^2]。 --- #### 方法二:矩阵法 利用行列式的性质可以直接计算外心: $$ D_x = \begin{vmatrix} x_1^2 + y_1^2 & y_1 & 1 \\ x_2^2 + y_2^2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 + y_3^2 & y_3 & 1 \end{vmatrix}, \quad D_y = \begin{vmatrix} x_1 & x_1^2 + y_1^2 & 1 \\ x_2 & x_2^2 + y_2^2 & 1 \\ x_3 & x_3^2 + y_3^2 & 1 \end{vmatrix}, $$ $$ D = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}. $$ 则外心坐标为: $$ x_c = \frac{-D_y}{2D}, \quad y_c = \frac{D_x}{2D}[^3]. $$ --- #### 方法三:基于垂直平分线的方法 外心也可以看作三条边的垂直平分线的交点。具体步骤如下: 1. 找到每条边的中点; 2. 对于每条边,求出它的垂直平分线方程; 3. 联立两条垂直平分线的方程,求出它们的交点作为外心位置[^4]。 --- ### 法向量计算 当已知外心 \(P(x_c, y_c)\) 及任一边的方向矢量时,可通过叉积运算得出平面中的法向量 \(n\)。例如,取边 \(AB\) 方向矢量 \(\vec{v_{AB}}=(x_2-x_1,y_2-y_1)\),则对应的单位法向量为: ```python vx, vy = x2 - x1, y2 - y1 nx, ny = -vy, vx length = (nx**2 + ny**2)**0.5 unit_normal_vector = nx / length, ny / length ``` ---
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