大整数乘法

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#数学 #算法 #c++ #大数乘法

这算是分治的运用，在java中有个大数类，用着非常方便，但是在c/c++中就没有那么容易了，

一个整数最多也才2^64两个数字的加法或减法我们可以用数组模拟运算一遍，轻松搞定，但是两个数字的乘法呢，

比如给你这样两个数字：

A= 1234567898765432145673；

B=23456789463784628596936285；

现要求求出c=A*B， 好了问题来了怎么用算法实现呢，数组模拟运算效率太低了，一个n位和m位的数字相乘最少进行n*m次乘法运算，

在说如何运算前，我先说说如何减少乘法运算次数：

数学家高斯曾经说 (a1+b1*i)*(a2+b2*i)这样的两个复数，他可以用三次乘法运算计算出结果，

(a1+b1*i)*(a2+b2*i)=a1*b2 + (a1*b2 + b1*a2)*i - b1*b2 ,仔细一看这不是有4次乘法运算么，

其实他用了一个小优化，假设不是复数 (a1+b1)*(a2+b2) = a1*b2 + (a1*b2 + b1*a2)+ b1*b2 

那么 (a1*b2 + b1*a2) =  (a1+b1)*(a2+b2) - a1*b2 - b1*b2 ，

所以就可以(a1+b1*i)*(a2+b2*i) =  a1*b2 + ((a1+b1)*(a2+b2) - a1*b2 - b1*b2) *i -b1*b2 ;三次乘法，got；

说了这么多这对我们做大数的运算有什么作用呢：

是这样的对于两个大数相乘我们肯定是采用分治的方法

数字A= A1 * 10^(n/2) + A2;

       B=B1 * 10^(n/2) + B2; (当两个数字不一样长时在断的前面补0)

==>>  A*B = A1 * B1 * 10^n  +( A1* B2 + A2*B1 ) * 10^(n/2)  + A2*B2

分治的思想是：

   getans(A, B)

              if (  A.length   == 1  and   B.length == 1 )

                       return A*B;

              else

                       return getans(A1, B1)*10^n  + (getans(A1, B1)  +  getans(A1, B2) )*  10^(n/2) + getans(B1, B2);

看样子并不难的样子但是我么来算算时间复杂度，还是以乘法作为基本操作（以加法作为基本操作求出结果和乘法一样）：

   O(1) = 1;

   O(n) = 4O(n/2);

   推到过程就不写了，但是最后算出来平均时间复杂度是O(n^2),和直接用数组模拟运算的复杂度是一样的，花这么大的力气写个66的代码并不6，

所以就优化，就用高斯的办法来优化，虽然加法次数增加了，但是最终结果是怎样的呢，推到一地啊就知道了：

换一个姿势后就有了：

    数字A= A1 * 10^(n/2) + A2;

           B=B1 * 10^(n/2) + B2; (当两个数字不一样长时在断的前面补0)

==>>  A*B = A1 * B1 * 10^n  +(  A*B  -  A1 * B1 * 10^n  - A2*B2 ) * 10^(n/2)  + A2*B2;

代码就变成下面的样子：

     getans(A, B)

              if (  A.length   == 1  and   B.length == 1 )

                         return A*B;

              else

                       X <— getans(A1, B1)*10^n  ;

                       Y <— getans(A2, B2) ;

                       return  X +  ( getans(A,B)  - X - Y )*10^(n/2)     + Y;

在来算时间复杂度就变成了：

        O(1) = 1;

        O(n) = 3*O(n/2);

最后平均时间复杂度就变成了O(n^( log2,3) )了这不就小于O(n^2) 了，

（平均时间复杂度的推导过程涉及到数学变换，所以没有写，这一个递推式的求法很多书山也有讲） 

代码借鉴于：http://blog.youkuaiyun.com/vsooda/article/details/8543351，感觉他写得很清晰了：

这里我说明一下大家可能会有的一个疑问：为什么：取4位为一节，是因为9999 * 9999 = 99980001  < 10^9 ,

如果取5位那么将会有99999 * 99999 的情况发生，就会超出int 类型的范围，

为什么不一取1位作为一节，当然是这样需要的递归次数更多，效率不如咯，

so，有了下面的模板,其中重载了输入，输出流，大于小于等于等操作符，当然最重要的是 + - * /  ^  % 等几个操作符

<span style="font-size:18px;">#include<iostream>   
#include<string>   
#include<iomanip>   
#include<algorithm>   
using namespace std;   
  
#define MAXN 9999  
#define MAXSIZE 10  
#define DLEN 4  
  
class BigNum  
{   
private:   
    int a[500];    //可以控制大数的位数   
    int len;       //大数长度  
public:   
    BigNum(){ len = 1;memset(a,0,sizeof(a)); }   //构造函数  
    BigNum(const int);       //将一个int类型的变量转化为大数  
    BigNum(const char*);     //将一个字符串类型的变量转化为大数  
    BigNum(const BigNum &);  //拷贝构造函数  
    BigNum &operator=(const BigNum &);   //重载赋值运算符，大数之间进行赋值运算  
  
    friend istream& operator>>(istream&,  BigNum&);   //重载输入运算符  
    friend ostream& operator<<(ostream&,  BigNum&);   //重载输出运算符  
  
    BigNum operator+(const BigNum &) const;   //重载加法运算符，两个大数之间的相加运算   
    BigNum operator-(const BigNum &) const;   //重载减法运算符，两个大数之间的相减运算   
    BigNum operator*(const BigNum &) const;   //重载乘法运算符，两个大数之间的相乘运算   
    BigNum operator/(const int   &) const;    //重载除法运算符，大数对一个整数进行相除运算  
  
    BigNum operator^(const int  &) const;    //大数的n次方运算  
    int    operator%(const int  &) const;    //大数对一个int类型的变量进行取模运算      
    bool   operator>(const BigNum & T)const;   //大数和另一个大数的大小比较  
    bool   operator>(const int & t)const;      //大数和一个int类型的变量的大小比较  
  
    void print();       //输出大数  
};   
BigNum::BigNum(const int b)     //将一个int类型的变量转化为大数  
{   
    int c,d = b;  
    len = 0;  
    memset(a,0,sizeof(a));  
    while(d > MAXN)  
    {  
        c = d - (d / (MAXN + 1)) * (MAXN + 1);   
        d = d / (MAXN + 1);  
        a[len++] = c;  
    }  
    a[len++] = d;  
}  
BigNum::BigNum(const char*s)     //将一个字符串类型的变量转化为大数  
{  
    int t,k,index,l,i;  
    memset(a,0,sizeof(a));  
    l=strlen(s);     
    len=l/DLEN;  
    if(l%DLEN)  
        len++;  
    index=0;  
    for(i=l-1;i>=0;i-=DLEN)  
    {  
        t=0;  
        k=i-DLEN+1;  
        if(k<0)  
            k=0;  
        for(int j=k;j<=i;j++)  
            t=t*10+s[j]-'0';  
        a[index++]=t;  
    }  
}  
BigNum::BigNum(const BigNum & T) : len(T.len)  //拷贝构造函数  
{   
    int i;   
    memset(a,0,sizeof(a));   
    for(i = 0 ; i < len ; i++)  
        a[i] = T.a[i];   
}   
BigNum & BigNum::operator=(const BigNum & n)   //重载赋值运算符，大数之间进行赋值运算  
{  
    int i;  
    len = n.len;  
    memset(a,0,sizeof(a));   
    for(i = 0 ; i < len ; i++)   
        a[i] = n.a[i];   
    return *this;   
}  
istream& operator>>(istream & in,  BigNum & b)   //重载输入运算符  
{  
    char ch[MAXSIZE*4];  
    int i = -1;  
    in>>ch;  
    int l=strlen(ch);  
    int count=0,sum=0;  
    for(i=l-1;i>=0;)  
    {  
        sum = 0;  
        int t=1;  
        for(int j=0;j<4&&i>=0;j++,i--,t*=10)  
        {  
            sum+=(ch[i]-'0')*t;  
        }  
        b.a[count]=sum;  
        count++;  
    }  
    b.len =count++;  
    return in;  
  
}  
ostream& operator<<(ostream& out,  BigNum& b)   //重载输出运算符  
{  
    int i;    
    cout << b.a[b.len - 1];   
    for(i = b.len - 2 ; i >= 0 ; i--)  
    {   
        cout.width(DLEN);   
        cout.fill('0');   
        cout << b.a[i];   
    }   
    return out;  
}  
  
BigNum BigNum::operator+(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相加运算  
{  
    BigNum t(*this);  
    int i,big;      //位数     
    big = T.len > len ? T.len : len;   
    for(i = 0 ; i < big ; i++)   
    {   
        t.a[i] +=T.a[i];   
        if(t.a[i] > MAXN)   
        {   
            t.a[i + 1]++;   
            t.a[i] -=MAXN+1;   
        }   
    }   
    if(t.a[big] != 0)  
        t.len = big + 1;   
    else  
        t.len = big;     
    return t;  
}  
BigNum BigNum::operator-(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相减运算   
{    
    int i,j,big;  
    bool flag;  
    BigNum t1,t2;  
    if(*this>T)  
    {  
        t1=*this;  
        t2=T;  
        flag=0;  
    }  
    else  
    {  
        t1=T;  
        t2=*this;  
        flag=1;  
    }  
    big=t1.len;  
    for(i = 0 ; i < big ; i++)  
    {  
        if(t1.a[i] < t2.a[i])  
        {   
            j = i + 1;   
            while(t1.a[j] == 0)  
                j++;   
            t1.a[j--]--;   
            while(j > i)  
                t1.a[j--] += MAXN;  
            t1.a[i] += MAXN + 1 - t2.a[i];   
        }   
        else  
            t1.a[i] -= t2.a[i];  
    }  
    t1.len = big;  
    while(t1.a[t1.len - 1] == 0 && t1.len > 1)  
    {  
        t1.len--;   
        big--;  
    }  
    if(flag)  
        t1.a[big-1]=0-t1.a[big-1];  
    return t1;   
}   
  
BigNum BigNum::operator*(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相乘运算   
{   
    BigNum ret;   
    int i,j,up;   
    int temp,temp1;     
    for(i = 0 ; i < len ; i++)  
    {   
        up = 0;   
        for(j = 0 ; j < T.len ; j++)  
        {   
            temp = a[i] * T.a[j] + ret.a[i + j] + up;   
            if(temp > MAXN)  
            {   
                temp1 = temp - temp / (MAXN + 1) * (MAXN + 1);   
                up = temp / (MAXN + 1);   
                ret.a[i + j] = temp1;   
            }   
            else  
            {   
                up = 0;   
                ret.a[i + j] = temp;   
            }   
        }   
        if(up != 0)   
            ret.a[i + j] = up;   
    }   
    ret.len = i + j;   
    while(ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1)  
        ret.len--;   
    return ret;   
}   
BigNum BigNum::operator/(const int & b) const   //大数对一个整数进行相除运算  
{   
    BigNum ret;   
    int i,down = 0;     
    for(i = len - 1 ; i >= 0 ; i--)  
    {   
        ret.a[i] = (a[i] + down * (MAXN + 1)) / b;   
        down = a[i] + down * (MAXN + 1) - ret.a[i] * b;   
    }   
    ret.len = len;   
    while(ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1)  
        ret.len--;   
    return ret;   
}  
int BigNum::operator %(const int & b) const    //大数对一个int类型的变量进行取模运算      
{  
    int i,d=0;  
    for (i = len-1; i>=0; i--)  
    {  
        d = ((d * (MAXN+1))% b + a[i])% b;    
    }  
    return d;  
}  
BigNum BigNum::operator^(const int & n) const    //大数的n次方运算  
{  
    BigNum t,ret(1);  
    int i;  
    if(n<0)  
        exit(-1);  
    if(n==0)  
        return 1;  
    if(n==1)  
        return *this;  
    int m=n;  
    while(m>1)  
    {  
        t=*this;  
        for( i=1;i<<1<=m;i<<=1)  
        {  
            t=t*t;  
        }  
        m-=i;  
        ret=ret*t;  
        if(m==1)  
            ret=ret*(*this);  
    }  
    return ret;  
}  
bool BigNum::operator>(const BigNum & T) const   //大数和另一个大数的大小比较  
{   
    int ln;   
    if(len > T.len)  
        return true;   
    else if(len == T.len)  
    {   
        ln = len - 1;   
        while(a[ln] == T.a[ln] && ln >= 0)  
            ln--;   
        if(ln >= 0 && a[ln] > T.a[ln])  
            return true;   
        else  
            return false;   
    }   
    else  
        return false;   
}  
bool BigNum::operator >(const int & t) const    //大数和一个int类型的变量的大小比较  
{  
    BigNum b(t);  
    return *this>b;  
}  
  
void BigNum::print()    //输出大数  
{   
    int i;     
    cout << a[len - 1];   
    for(i = len - 2 ; i >= 0 ; i--)  
    {   
        cout.width(DLEN);   
        cout.fill('0');   
        cout << a[i];   
    }   
    cout << endl;  
}  
int main(void)  
{  
    int i,n;  
    BigNum x[101];      //定义大数的对象数组  
    x[0]=1;  
    for(i=1;i<101;i++)  
        x[i]=x[i-1]*(4*i-2)/(i+1);  
    while(scanf("%d",&n)==1 && n!=-1)  
    {  
        x[n].print();  
    }  
} </span>

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参考https://blog.youkuaiyun.com/Wang_1997/article/details/68241892 https://blog.youkuaiyun.com/Wchenchen0/article/details/80286915?utm_source=blogxgwz27 大整数乘法 在下面的例子程序中，用 unsigned an1[200]和 unsigned an2...
大整数计算（运算符重载）
luoyeliufeng的博客
06-09 3446
大整数计算（运算符重载） 题目描述 定义大整数类CBigInteger（假设最长支持1000位），数据成员为一个字符指针。成员函数或友元函数包括： 1）带参构造函数，为字符指针动态分配1001个字符空间。根据参数初始化大整数。 2) 无参构造函数，为字符指针动态分配1001个字符空间。 3）重载运算符+，实现两个大整数的加法。 4）重载运算符-，实现两个大整数的减法。 5）重载运算符*，实现两个大整数的乘法。6）重载输入，输入大整数。 7）重载输出，输出大整数。 8）析构函数，释放分配的空间。该函数不可屏
大整数乘法算法简单实现 java
zhangbingxiazai的专栏
10-19 627
该算法还有很多不足之处，希望大家指正修改 ——funice
大数 （整数）乘法，除法
Yes_You_Can 的博客
05-17 718
大数相乘 计算两个正整数m，n的乘积，m，n不超过一千位 #include #include #include using namespace std; int main() { char a[1001],b[1001];//输入的m,n int x[1001],y[1001],s[1005]; int c1,c2,i,j,t,n; whil
大整数乘法（运算符重载）
2301_79801189的博客
06-05 232
BigInteger类表示不超过1000位的无符号大整数。试重载>>
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