01背包方案计数

状态转移方程:F[j]=F[j]+F[j-G[i]]

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int hav[150];
int val[150];
int dp[20009];
int n,v; 
int ans=0;
int solve()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=v;j>=hav[i];j--)
        {
            dp[j]+=dp[j-hav[i]];
        }
    return dp[v];
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&v);
    dp[0]=1;    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&hav[i]);
    printf("%d\n",solve());
 } 
### C语言实现计数背包问题的详细解释 #### 什么是计数背包问题? 计数背包问题是动态规划中的经典问题之一,其目标是在给定容量 \( V \) 的背包中放入若干件物品,每种物品有无限数量可用,求解能够装入背包的不同方案总数。此问题通常被称为 **完全背包问题** 或 **计数型完全背包问题**。 对于该问题的核心思想在于状态转移方程的设计以及如何优化时间复杂度。以下是基于 C 语言的具体实现及其原理分析: --- #### 动态规划的状态定义与转移方程 设 \( dp[j] \) 表示当背包容量为 \( j \) 时可以填充的方法数目,则状态转移方程如下: \[ dp[j] = dp[j] + dp[j - w_i],\quad (j \geq w_i), \] 其中 \( w_i \) 是第 \( i \) 种物品的重量[^1]。 初始条件设置为 \( dp[0] = 1 \),表示如果背包容量为 0,则只有一种方法——不放任何物品。 通过这种方式,我们可以逐步计算出不同容量下的填充分配方式的数量。 --- #### 时间复杂度优化 原始的时间复杂度为 \( O(NV) \),其中 \( N \) 是物品种类数,\( V \) 是背包总容量。然而,在某些情况下可以通过预处理或者特殊技巧进一步降低实际运行开销。例如,“拆分物品”的策略可以帮助减少不必要的重复运算次数[^1]。 下面展示了一个标准版的 C 实现代码片段来解决这个问题: ```c #include <stdio.h> #define MAX_V 1000 // 定义最大可能的背包体积 int main() { int n, v; // 物品数量 和 背包容量 scanf("%d %d", &n, &v); int weights[n]; // 存储各个物品的权重 for(int i=0;i<n;i++) { scanf("%d",&weights[i]); } long long dp[MAX_V+1]; memset(dp, 0, sizeof(dp)); // 初始化dp数组全为0 dp[0]=1; for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=weights[i];j<=v;j++){// 正向遍历防止多次利用当前物品 dp[j]+=dp[j-weights[i]]; } } printf("Total ways to fill the bag:%lld\n", dp[v]); return 0; } ``` 上述代码实现了基本的功能需求,并采用了正序迭代的方式更新 `dp` 数组以适应完全背包的特点。 --- #### 关键点解析 1. **初始化**: 将所有的 `dp[]` 值设定为零除了第一个元素外因为只有在没有任何东西放进背包里才会有唯一的一种情况即什么都不做。 2. **双重循环结构**: 外层枚举每一个物品;内层则针对特定物品调整剩余空间内的可能性分布状况。 3. **累加操作**: 对于每个新加入考虑范围之内的物体而言,只要它不会超过现有界限就应当将其贡献纳入考量之中从而形成新的组合形式。 ---
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