线性代数

本文主要是观看MIT的线性代数课程的一些笔记和感想，记录下来，以备后续查阅。

第一课：线性方程组
如何看待一个n个未知量的n维线性方程组？

可以总结为下列的公式：

AX ＝ b

A是一个nxn的矩阵，x和b是一个列向量，未知量x ＝ { x1, x2, ..... xn}， b ＝ { b1, b2, ..... bn}

上面的公式可以从两个方面看：

（1） row picture

（2）column picture

Row picture是大家习惯的方式，也就是按照线性方程组来看，每一行的式子都被看出一个n维空间的平面。对应2维而言，每个式子是一条直线，对于3维而言，每个式子是3维空间中的一个平面。这是平面几何和立体几何的知识。对于高维空间，我仍然称之为“平面”。解n维线性方程组也就是解这些n维空间中的“平面”的交点。

Column picture是一个更有意思的思考方向。矩阵A有n个列向量，分别记作a1,a2, ...... an，那么上面的公式就会被看出是否可以通过a1,a2, ...... an的线性组合得到列向量b，求解未知量x的过程就是求解线性组合的系数的过程。

第二课：消元法解线性方程组
消元法比较简单，这里没有什么好说的。


第三课：矩阵的乘法
四种方法看待矩阵的乘法

对于公式A X B = C

A, B, C都是矩阵。

（1）方法1，Cij （i是行标，j是列标），Cij是矩阵A的第i个行向量和矩阵B的第j个列向量的dot product

（2）把B和C看出若干个列向量组成，那么矩阵的乘法可以若干个Ab ＝ c的线性方程组，我们用column picture来看这个线性方程组。这样，C的每一个列就来自A的列向量的线性组合，线性组合的系数就是B的列向量。

（3）矩阵C的每一个行向量可以看出矩阵B的行向量的线性组合，线性组合的系数就是A的行向量

（4）矩阵C可以看成若干个矩阵相加，每一个矩阵都是矩阵A的第i个列向量和矩阵B的第i个行向量相乘得到的。