分治法求最大子数组备忘

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 100000+1
#define min -2147483647
int map[maxn];

int *find_cross(int low, int mid, int high)
{
    int max_left = min;
    int left_num;
    int i, j;
    int sum = 0;
    for(i = mid; i >= low; i--)
    {
       sum += map[i];
       if(sum >= max_left)
       {
           left_num = i;
           max_left = sum;
       }
    }
    int max_right = min;
    int right_num;
    sum = 0;
    for(j = mid+1; j <= high; j++)
    {
        sum += map[j];
        if(sum > max_right)
        {
            right_num = j;
            max_right = sum;
        }
    }
    int* result = new int[3];
    result[0] = max_left + max_right;
    result[1] = left_num;
    result[2] = right_num;
    return result;
}
int *find_max(int low, int high)
{
    if(low == high)
    {
        int* result = new int[3];
        result[0] = map[low];
        result[1] = low;
        result[2] = high;
        return result;
    }
    else
    {
        int mid = (low + high)/2;
        int* left = find_max(low, mid);
        int* right = find_max(mid+1, high);
        int* cross = find_cross(low, mid, high);
       // printf("left%d %d %d\n", left[0], left[1], left[2]);
        //printf("right%d %d %d\n", right[0], right[1], right[2]);
        //printf("cross%d %d %d\n", cross[0], cross[1], cross[2]);
        
        if((left[0] >= right[0]) && (left[0] >= cross[0]))
            return left;
        else if((right[0] > left[0]) && (right[0] > cross[0]))
            return right;
        else
            return cross;
    }
}

int main()
{
    int n, tmp, i;
    scanf("%d", &n);
    for(int j = 1; j <= n; j++)
    {
        scanf("%d", &tmp);
        for(i = 0; i < tmp; i++)
        {
            scanf("%d", &map[i]);
        }
        int* result = find_max(0, tmp-1);
        printf("Case %d:\n", j);
        printf("%d %d %d\n", result[0], result[1]+1, result[2]+1);
        printf(j == n?"":"\n");
    }
    return 0;
}

### 使用分治法解决最大子数组问题 #### 最大子数组问题概述 最大子数组问题是寻找给定一维整数数组中的连续子数组,使得该子数组的和达到最大值。这个问题可以通过多种方法解决,其中一种高效的方式就是使用分治法。 #### 分治法的核心思想 分治法通过将原问题划分为若干个较小的子问题来逐步解决问题。对于最大子数组问题,可以将其划分为三个可能的情况: 1. **左半部分的最大子数组**:完全位于数组中间位置左边的部分。 2. **右半部分的最大子数组**:完全位于数组中间位置右边的部分。 3. **跨越中间位置的最大子数组**:包含中间位置及其两侧元素的子数组。 最终的结果将是这三个情况中的最大值[^1]。 #### 跨越中间位置的最大子数组计算 为了找出跨越中间位置的最大子数组,可以从中间位置向左扩展找到最大的前缀和,再从中间位置向右扩展找到最大的后缀和,两者相加即为跨越中间位置的最大子数组之和。 以下是详细的伪代码描述: ```python def find_max_crossing_subarray(arr, low, mid, high): # 初始化左侧最大和 left_sum = float('-inf') sum_ = 0 max_left = mid # 计算从中间向左的最大和 for i in range(mid, low - 1, -1): sum_ += arr[i] if sum_ > left_sum: left_sum = sum_ max_left = i # 初始化右侧最大和 right_sum = float('-inf') sum_ = 0 max_right = mid + 1 # 计算从中间向右的最大和 for j in range(mid + 1, high + 1): sum_ += arr[j] if sum_ > right_sum: right_sum = sum_ max_right = j return (max_left, max_right, left_sum + right_sum) ``` #### 完整的分治算法实现 完整的分治算法基于递归方式实现,具体如下所示: ```python def find_maximum_subarray(arr, low, high): if high == low: # 基本情况:只有一个元素 return (low, high, arr[low]) else: mid = (low + high) // 2 # 左侧最大子数组 (left_low, left_high, left_sum) = find_maximum_subarray(arr, low, mid)[^4] # 右侧最大子数组 (right_low, right_high, right_sum) = find_maximum_subarray(arr, mid + 1, high) # 跨越中间的最大子数组 (cross_low, cross_high, cross_sum) = find_max_crossing_subarray(arr, low, mid, high) if left_sum >= right_sum and left_sum >= cross_sum: return (left_low, left_high, left_sum) elif right_sum >= left_sum and right_sum >= cross_sum: return (right_low, right_high, right_sum) else: return (cross_low, cross_high, cross_sum) # 主函数调用 arr = [-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4] result = find_maximum_subarray(arr, 0, len(arr) - 1) print(f"Maximum subarray is from index {result[0]} to {result[1]}, with a sum of {result[2]}") ``` 这段代码实现了分治法最大子数组的过程,并返回了起始索引、结束索引以及对应的子数组和。 --- ### 时间复杂度分析 分治法的时间复杂度主要由以下几个因素决定: - 划分子问题的操作需要 \(O(1)\) 的时间。 - 解决两个子问题需要 \(T(n/2)\),因为每次都将问题规模减半。 - 找到跨越中间的最大子数组需要线性扫描整个数组的一半,因此时间为 \(O(n)\)。 综合来看,总的时间复杂度为 \(T(n) = 2T(n/2) + O(n)\),根据主定理可得其时间复杂度为 \(O(n \log n)\)[^3]。 ---
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