动态规划之钢条切割

• 本文作者： lemon
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动态规划简介(算法导论)

动态规划方法通常用来求解最优化问题。这类问题可以有很多可行解，每个解都有一个值，我们希望寻找具有最优值(最小值或最大值)的解。我们称这样的解为问题的一个最优解，但是不是唯一的最优解，因为可能有多个解都能达到最优值。

我们通常按如下4个步骤来设计一个动态规划算法：

1. 刻画一个最优解的结构特征。
2. 递归地定义最优解的值。
3. 计算最优解的值，通常采用自底向上的方法。
4. 利用计算出的信息构造一个最优解。

   钢条切割

   问题描述

   给定一段长度为 nn 英寸的钢条和一个价格表 pi(i=1,2,…,n)pi(i=1,2,…,n)， 求切割钢条方案，使得销售收益 rnrn 最大。

长度 ii	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
价格 pipi	1	5	8	9	10	17	17	20	24	30

表1.1 钢条价格样例。每段长度为 ii 英寸的钢条为公司带来 pipi 美元的收益

动态规划求解

长度为 nn 英寸的钢条共有 2n−12n−1 种不同的切割方案。在距离钢条左端 i(i=1,2,…,n−1)i(i=1,2,…,n−1) 英寸处，我们可以选择切割或者不切割。为了方便描述，我们用加法符号表示切割方案，比如7=2+2+3表示将长度为7英寸的钢条切割为三段(长度为2、2、3)。
如果一个最优解将钢条切割 kk 段(1<=k<=n1<=k<=n),那么最有切割方案，可以用如下表示方式

 

n=i1+i2+…+ikn=i1+i2+…+ik

,
将钢条切割为长度为 i1,i2,…,iki1,i2,…,ik 的小段，得到最大利益表示如下

rn=pi1+pi2+…+pikrn=pi1+pi2+…+pik

最优解结构

为了求解规模为 nn 的原问题，我们可以将其分解为规模更小的子问题求解。如果问题的最优解由相关子问题的最优解组合得到，我们则称此问题满足最优子结构。在钢条切割问题上，我们完成钢条首次切割后,可以将两段钢条看成两个独立的钢条切割实例。通过组合两个子问题的最优解，并在所有可能中取收益最大的组合方案得到最优解。

递归定义

将钢条从左边切割长度为 ii 的一段，右边剩下长度为 n−1n−1 ,假定左边钢条不再切割，只需对右边钢条继续切割，使用递归的思想求解。可得到以下递归版本定义

 

rn=max(pi+rn−i),1≤i≤n.rn=max(pi+rn−i),1≤i≤n.

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

public static long getCutRod(long[] p, int n) { if (n == 0) return 0; long q = Long.MIN_VALUE; for (int i = 1; i <= n; i++) { if(i==11){ System.out.println(i); } q = Math.max(q, p[i] + getCutRod(p, n - i)); } return q; }

 

其中数组p表示价格数组，数组大小为n+1，初始化如下
if(n<=10),数组大小定义为11，初始化如下
p[0] = 0;
p[1] = 1;
p[2] = 5;
p[3] = 8;
p[4] = 9;
p[5] = 10;
p[6] = 17;
p[7] = 17;
p[8] = 20;
p[9] = 24;
p[10] = 30;
其他情况，数组大小根据输入的n值大小动态确定，前11个值初始化为上面所提，其他为默认值0
但是该版本的运行时间随着n的增加呈指数增长，后面会给出对比曲线。

计算最优值

我们采用自底向上的动态规划的方法得到更有效的算法。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

public static long getCutRodDP(long[] p, int n) { long[] dp = new long[n + 1]; int[] length = new int[n + 1]; dp[0] = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) { long q = Long.MIN_VALUE; for (int j = 1; j <= i; j++) { long temp = q; q = j < p.length ? Math.max(q, p[j] + dp[i - j]) : Math.max(q, dp[j] + dp[i - j]); if (temp < q) { length[i] = j; } } dp[i] = q; } return dp[n]; }

 

p表示价格表，如本文中应该为p的数组大小应该为11。
动态规划版本与递归版本时间消耗对比如下,可以明显看到递归版本的时间呈指数增长

当钢条长度增长到35时，鄙人渣渣电脑就跑不动了，以下表示动态规划算法版本的时间消耗表

长度	200	400	600	800	1000	1500	2000	4000	6000	10000
耗时(ms)	1	3	4	6	7	11	13	29	54	133

构造最优解

前面我们进给出最优解的值，并没给出具体切割方案

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

public static String getCutRodDP(long[] p, int n) { long[] dp = new long[n + 1]; int[] length = new int[n + 1]; dp[0] = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) { long q = Long.MIN_VALUE; for (int j = 1; j <= i; j++) { long temp = q; q = j < p.length ? Math.max(q, p[j] + dp[i - j]) : Math.max(q, dp[j] + dp[i - j]); if (temp < q) { length[i] = j; } } dp[i] = q; } //构造最优解 int temp = n; StringBuffer str = new StringBuffer("r" + n + "=" + dp[n] + "," + "切割方案" + n + "="); while (temp > 0) { str.append(length[temp]); str.append("+"); temp = temp - length[temp]; } str.delete(str.length() - 1, str.length()); return str.toString(); }

 

测试
r11=31,切割方案11=1+10，
r15=43,切割方案15=2+3+10，
r33=98,切割方案33=3+10+10+10

完整代码以及相应示例图见 https://github.com/lemon2013/algorithm/blob/master/src/com/pty/graph/Cutrod.java