Even Fibonacci numbers

最新推荐文章于 2024-03-08 09:30:00 发布

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本文探讨如何通过编程方法求解Fibonacci序列中所有不超过四百万的偶数之和，提供了多种解法并分析其优劣。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

'''
Each new term in the Fibonacci sequence is generated by adding the previous two terms. 
By starting with 1 and 2, the first 10 terms will be:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

By considering the terms in the Fibonacci sequence whose values do not exceed four million, 
find the sum of the even-valued terms.
不超过4000000的Fibonacci序列中所有偶数的和
'''

分析：

方案一：求出所有小于4000000的Fibonacci序列，然后对所有偶数进行求和

方案二：分析序列规律，两个偶数中间有两个奇数，所以可以在求值的时候，进行过滤求和

方案三：偶数等于前面奇数之和，那么把所有数累加后，除2得到的结果就是所有偶数的和，前提是4000000前的一项数是偶数，若为奇数，那么须额外处理

那么问题还是在求Fibonacci序列

给定第一项1，每二项1，以后每项的值为前两项之和

注：方案与解法不一一对应

解法一：# 取两个变量，需要在计算时进行累加
def even_Fibonacci_numbers(limit=4000000):
	fir = 1
	sec = 1
	tmp = fir + sec
	res = fir + sec
	while tmp < limit:
		if tmp % 2 == 0:
			res += tmp
		fir, sec = sec, tmp
		tmp = fir + sec
	return res

此方法，需要关注序列中做去处的两项的值的交换，但空间方面就节省了

解法二：#采用数组保存序列值

def even_Fibonacci_numbers(limit=4000000):
	fi = [1,1]
	tmp = sum(fi)
	while tmp < limit:
		fi.append(tmp)
		tmp = fi[-2] + fi[-1]
	return sum([i for i in fi if i % 2 == 0])

此方法，只需要关注累加的那一项是否超过界限，但用列表来保存增加的项。

若需要增加的项很多，可以先开辟一段空间，解法上需要做一下修改。

解法三：#取两个变量，累计所有和，然后分析得到的序列的奇偶性，并处理
def even_Fibonacci_numbers(limit=4000000):
	while tmp < limit:
		fir, sec = sec, tmp
		res += sec
		tmp = fir + sec
		
	if res % 2 == 1:
		res = (res - sec) / 2
	else:
		if sec % 2 == 0:
			res /= 2
		else:
			res = (res - sec - fir) / 2
	return res

此方法，最后分析处理，fir,sec只有三种可能的情况，奇奇，奇偶，偶奇

fir,sec：偶奇，得到的res为奇数，所以需要减去sec，得到的结果再除以2，得最终结果

fir,sec：奇奇，奇偶，得到的res均为偶数，故需要进一步判断，

若sec为偶数，那么将结果直接除以2即可

若sec为奇数，那么得到的结果需要减去fir和sec，然后将结果除以2，得最终结果

这里再引用一下别人的做法，依然是分析序列：这个解法算是方案二的求解。

x, y, x + y, x + 2y, 2x + 3y, 3x + 5y

这里，我们需要取的值是x+y,3x+5y

python表示：

def calcE(limit=4000000):
	x = y = 1
	res = 0
	while (res < limit):
		res += (x + y)
		x, y = x + 2 * y, 2 * x + 3 * y
	return res

这个解法是这些解法中运行速度最快的，也许解决当前这个问题足够了，但是并不正确

当改变限界为6*10**6时，会得到错误结果。

正确的表示：

def calcE(limit=4000000):
	x = y = 1
	res = 0
	while res < limit and x < limit and y < limit:
		res += (x + y)
		x, y = x + 2 * y, 2 * x + 3 * y

	return res

对于参与累计的值，必须满足之前所有的值都小于限界，一但某个值超过了限界，那么就必须结束累计。

这样得到的结果才会是正确的。

提一点，有人用数学方法，直接推导最后的结果，算法复杂度O(1)