HDU 3904 A tree game题解

本文介绍了一种基于树结构的删边博弈游戏,并详细分析了游戏规则与求解策略。通过将问题转化为Nim游戏的组合,文章给出了确定胜者的具体算法。

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【题意】:

    给定一个以1号节点为根的含N个节点的树,Alice先手,Bob后手玩一个游戏:轮流删去树中的边,之后将与根断开了联系的部分去除。无法继续删边者为负。

【分析】:

    这是树的删边博弈游戏,首先先考虑更加简单的链的删边博弈游戏。

             链的删边博弈游戏游戏规则:对于一条链,两人轮流删边,脱离根的部分去除,没边可删的人即输。考虑其sg值。

    ——当只有一个根存在时,先手必败。

    【博弈】无向图删边游戏

    ——当有2个结点时,如图:

    【博弈】无向图删边游戏

     所以,红点的sg=1。

    ——当有3个结点时,如图:

     【博弈】无向图删边游戏

    所以,红点的sg=2。


    依次类推...... 


    现在考虑树的删边游戏。
游戏规则:对于一棵树,两人轮流删边,脱离根的部分去除,没边可删的人即输。有了链后,我们看树,其实,就是一个组合游戏。

        【博弈】无向图删边游戏

    于是乎,很明显,这成了一个Nim游戏的组合。

   所以,在树中,叶子结点的sg=0,其他节点的sg等于儿子结点的sg+1的异或和。(为什么:对于链的情况,已经很显然了,链的叶子节点sg=0,根节点为sg=n-1,n为节点数;对于上图的简单的树,可相当于一条链从中间某点当做根的情况,即可相当于从根处断成两条链,每条链当做Nim中的一堆石头,那么根据Nim游戏的SG函数可得树的删边博弈游戏的SG)

    (上述资料原版来自:【博弈】无向图删边游戏

【代码】:

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAX 200001
#define MAXN 100001
struct TREENODE{int f,t,next;}a[MAX];
int DATA,N,last[MAXN],tot;
bool vis[MAXN];
void add(int from,int to)
{
	a[++tot].t=to;
	a[tot].next=last[from];
	last[from]=tot;
	a[++tot].t=from;
	a[tot].next=last[to];
	last[to]=tot;
}
int work(int now)
{
	int ans=0;
	for(int i=last[now];i;i=a[i].next)
	{
		  int to=a[i].t;
		  if(!vis[to])
		  {
		  	   vis[to]=true;
		  	   ans^=(work(to)+1);
		  }
	}
	return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d",&DATA);
    for(int data=1;data<=DATA;data++)
    {
    	  tot=0;
		  memset(last,0,sizeof(last));
		  memset(vis,false,sizeof(vis));
    	  scanf("%d",&N);
    	  for(int i=1;i<N;i++)
    	  {
    	  	    int F,T;
    	  	    scanf("%d%d",&F,&T);
    	  	    add(F,T);
		  }
		  vis[1]=true;
		  if(!work(1))   printf("Bob\n");
		  else   printf("Alice\n");
	}
	return 0;
} 


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