NOIP2007第四题树网的核分析

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本文探讨了无根树网的核(Core)概念，即寻找路径F，它位于某直径上，长度不超过给定值s，使得偏心距ECC(F)最小。通过Floyd算法或直接模拟方法解决此问题，确保在树网中找到最优路径。文章提供输入输出样例和两种解题思路，适用于NOIP2007第四题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

树网的核

（core.pas/c/cpp）

【问题描述】

设T=(V, E, W) 是一个无圈且连通的无向图（也称为无根树），每条边到有正整数的权，我们称T为树网（treebetwork），其中V，E分别表示结点与边的集合，W表示各边长度的集合，并设T有n个结点。

路径：树网中任何两结点a，b都存在唯一的一条简单路径，用d(a, b)表示以a, b为端点的路径的长度，它是该路径上各边长度之和。我们称d(a, b)为a, b两结点间的距离。

D(v, P)=min{d(v, u), u为路径P上的结点}。

树网的直径：树网中最长的路径成为树网的直径。对于给定的树网T，直径不一定是唯一的，但可以证明：各直径的中点（不一定恰好是某个结点，可能在某条边的内部）是唯一的，我们称该点为树网的中心。

偏心距ECC(F)：树网T中距路径F最远的结点到路径F的距离，即

ECC(F)=max{d(v, F)，v∈V}

任务：对于给定的树网T=(V, E, W)和非负整数s，求一个路径F，他是某直径上的一段路径（该路径两端均为树网中的结点），其长度不超过s（可以等于s），使偏心距ECC(F)最小。我们称这个路径为树网T=(V, E, W)的核（Core）。必要时，F可以退化为某个结点。一般来说，在上述定义下，核不一定只有一个，但最小偏心距是唯一的。

下面的图给出了树网的一个实例。图中，A-B与A-C是两条直径，长度均为20。点W是树网的中心，EF边的长度为5。如果指定s=11，则树网的核为路径DEFG（也可以取为路径DEF），偏心距为8。如果指定s=0（或s=1、s=2），则树网的核为结点F，偏心距为12。

【输入】

输入文件core.in包含n行：

第1行，两个正整数n和s，中间用一个空格隔开。其中n为树网结点的个数，s为树网的核的长度的上界。设结点编号以此为1，2，……，n。

从第2行到第n行，每行给出3个用空格隔开的正整数，依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如，“2 4 7”表示连接结点2与4的边的长度为7。

所给的数据都是争取的，不必检验。

【输出】

输出文件core.out只有一个非负整数，为指定意义下的最小偏心距。

【输入输出样例】

【输入输出样例1】

core.in	Core.out
5 2 1 2 5 2 3 2 2 4 4 2 5 3	5

【输入输出样例2】

core.in	core.out
8 6 1 3 2 2 3 2 3 4 6 4 5 3 4 6 4 4 7 2 7 8 3	5

【限制】

40%的数据满足：5<=n<=15

70%的数据满足：5<=n<=80

100%的数据满足：5<=n<=300，0<=s<=1000。边长度为不超过1000的正整数

→思路1：最短路改编

【分析】：

用floyd求两点间最短路，然后枚举小于等于S的边，求其他点到该边的距离最大值<(map[i][k]+map[j][k]-map[i][j])/2即偏心距，其中i，j为选中的点，k为枚举的点>，最后取最小值

【代码】：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
#define IMAX 21474836
#define MAX 301
int N,S,ans1=IMAX,map[MAX][MAX];
void pre()
{
      for(int i=1;i<=N;i++)
            for(int j=i+1;j<=N;j++)
                  map[i][j]=map[j][i]=IMAX;
}
void floyd()
{
      for(int k=1;k<=N;k++)
            for(int i=1;i<=N;i++)
                  if(i!=k)
                       for(int j=i+1;j<=N;j++)
                             if(map[i][k]+map[k][j]<map[i][j])
                                   map[i][j]=map[j][i]=map[i][k]+map[k][j];
}
void work()
{
      for(int i=1;i<=N;i++)
            for(int j=i;j<=N;j++)
                  if(map[i][j]<=S)
                  {
                        int now=0;
                        for(int k=1;k<=N;k++)
                              if(i!=k && j!=k)
                                    now=now<map[i][k]+map[j][k]-map[i][j] ? map[i][k]+map[j][k]-map[i][j] : now;
                        ans1=ans1<now ? ans1 : now;                        
                  }
}
int main()
{
      freopen("core.in","r",stdin);
      freopen("core.out","w",stdout);
      memset(map,0,sizeof(map));
      scanf("%d%d",&N,&S);
      pre();
      for(int i=1;i<N;i++)
      {
            int A,B,C;
			scanf("%d%d%d",&A,&B,&C);
			map[A][B]=map[B][A]=C;
      }
      floyd();
      work();
      printf("%d\n",ans1/2);
      //system("pause");
      return 0;
}

→思路二：直接模拟

【分析】：

先求出一条树的直径，并记录上面的点，然后模拟的找最短偏心距

【代码】：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<queue>
#define MAXN 100000000
using namespace std;
queue<int > q;
int jdf[301][301],ff[301][301],f[301][301],fa[301],jl[301],pxj[301],jd[301],maxi,maxx,n,ss;
bool s[301],zs[301];
void js()
{
	memset(s,false,sizeof(s));
	memset(jl,0,sizeof(jl));
	q.push(maxi);
	s[maxi]=true;
	maxx=0;
	while(!q.empty())
	{
		int k=q.front();q.pop();
		if(jl[k]>maxx){maxx=jl[k];maxi=k;}
		for(int i=1;i<=ff[k][0];i++){
			int kk=ff[k][i];
			if(!s[kk]){
				s[kk]=true;
				fa[kk]=k;
				jl[kk]=jl[k]+f[k][kk];
				q.push(kk);
			}
		}
	}
	return;
}
int fff(int v,int u)
{
	memset(fa,0,sizeof(fa));
	maxi=v;
	js();
	int minn=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int k=i,ans=0;
		while(true)
		{
			if(zs[k])break;
			ans+=f[k][fa[k]];
			k=fa[k];
		}
		minn=max(minn,ans);
	}
	return minn;
}
int main()
{
	freopen("core.in","r",stdin);
	freopen("core.out","w",stdout);
	cin>>n>>ss;
	int a,b,c;
	memset(f,0,sizeof(f));
	for(int i=1;i<n;i++){
		cin>>a>>b>>c;
		f[a][b]=c;
		f[b][a]=c;
		ff[a][++ff[a][0]]=b;
		ff[b][++ff[b][0]]=a;
	}
	maxi=1;js();memset(fa,0,sizeof(fa));js();
	int k=maxi,ok=0;
	while(k)
	{
		jd[++ok]=k;
		k=fa[k];
	}
	for(int i=1;i<=ok;i++)
		for(int j=i+1;j<=ok;j++)
			jdf[i][j]=jdf[i][j-1]+f[jd[j-1]][jd[j]];
	int minx=MAXN;
	for(int i=1;i<=ok;i++){
		memset(zs,false,sizeof(zs));
		int j=i;
		for(;j<=ok&&jdf[i][j]<=ss;j++)
			zs[jd[j]]=true;
		j--;
		minx=min(minx,fff(jd[i],jd[j]));
	}
	cout<<minx<<endl;
	return 0;
}

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