数据结构 ---- 二叉搜索树

一直对于二叉搜索树（又叫二叉排序树，也叫二叉查找树），没有很好的理解，决定花点时间来学习and总结。。

二叉搜索树也是二叉树的一种。（就像堆也就二叉树的一种一样。。。）

只不过，二叉搜索树也是有其他要求：对于所有的子树，其根节点的值大于左子树上的所有结点的值，而小于右子树上所有结点的值的值。。

对于错误的理解：对于所有的结点，要大于其左结点，小于其右结点。。（PS：这种理解是错误的，一定要注意。。）

还有一点需要注意的是：我们的大于和小于都应该是严格的。

========== 下面主要针对，其建立、增删改查这些操作来进行说明 ==============

====== 对于所有的数据结构，我们对其增删改查都应该有比较清楚的认识==========

首先我们定义一下二叉树的结构（链式结构）：

<span style="font-size:18px;"><span style="font-size:18px;"># 结点的数据结构
typedef int ElementType;
typedef struct
{
    ElementType Element;
    ElementType *left;
    ElementType *right;
}TreeNode;

# 有必要区别一下结点和树的区别。
具体来说的话：
结点的话，就是有数据+空间。
树的话，就是一个指向树的头结点的指针。
现在，我说给你你棵树，肯定就是给你一个指向头结点的指针。

</span></span>

MakeEmpty:

所谓makeempty就是一个用来初始化为一个空的二叉搜索树。（注意这个‘为’字 = =）

这里是初始化，我们理解为：现在给你一棵树（可能不是一棵空树），我们如何来初始化。

========== 插一腿 =========

有必要解释一下，新建和初始化，我对这两个概念理解上的区别。

比如：
现在我要新建一棵二叉树：

       新建二叉树的话，就是要新建一个的root结点（或者说新建一个指向root结点的指针）。

现在我要初始化一棵二叉树：

       初始化二叉树的话，就是现在一棵二叉树已经建好了，我要初始化他。在没有插入任何一个结点的时候，初始化就显的比较尴尬了。不用分配空间，不用初始化数据。

ppps：对于这两个概念的区别还是有待更加深刻的理解（特别是树）。有待以后学习。

对于这个 问题，我又了解了一些情况。这儿有一个帖子，讨论的比较有>>>>>>http://bbs.youkuaiyun.com/topics/360102904

加上自己的一点理解：创建的话，你只需要指定，你现在已经创建了一个你的数据结构；而初始化的话，就是你需要对你的数据进行处理。。。

比如现在你要创建和初始化一棵树（无论是什么样的数）：

创建一棵树，就是你要个给出这棵树的一个接口（头结点）。想一想，对于给你一棵树，你会得到什么？就是该树得头结点啊。。

那么对于初始化呢？初始化一棵树的话，我们就需要对说有的结点进行空间的分配和数据的存储。。

现在对于新建和初始化应该有很清楚的理解。。。

=========================

Code：

<span style="font-size:18px;"><span style="font-size:18px;">返回的是一棵树。而不是。。。。
TreeNode* MakeEmpty(TreeNode* tree)
{
    if(tree != NULL){
        MakeEmpty(tree -> left);
        MakeEmpty(tree -> right);
        free(tree);
    }
    return NULL;
}
</span></span>

Find， FindMin and FindMax:

对于查找来说，我们的二叉搜索树还是有一定的优势的。（这也是为什么我们的二叉搜索树也叫二叉查找树）。

对于所有类型的查找（无论是找什么样元素，存在的，不存在的，最大的，最小的），我们的平均查找时间为log(n)，n为该树中的所有结点。

<span style="font-size:18px;">// 返回值为结点的地址。
// 寻找值为x的结点。。
TreeNode* Find(ElementType x, TreeNode* T)
{
    if(T == NULL) return NULL;
    
    if(T -> Element > x ){
        return Find(x, TreeNode -> left);
    }
    else if(T -> Element < x) {
        return Find(x, TreeNode -> right);
    } 
    return T;
}

// 寻找最小值的结点。。
TreeNode* FindMin(TreeNode* T)
{
    if(T == NULL) return NULL;
    if(T -> left == NULL){
        return T;
    }
    return FindMin(T -> left);
}


// 寻找最大值的结点。。
TreeNode* FindMax(TreeNode* T)
{
    if(T == NULL) return NULL;
    if(T -> right == NULL) {
        return T;
    }
    return FindMax(T -> right);
}

</span>

对于二叉搜索树的查找操作还是比较简单的。。。

对于他的递归写法很是简单；当然，对于其的循环写法就更加的简单了。。。

Insert:

插入的话，我们最优（或者说，最简单）的做法就是，把需要插入的结点插入为叶子结点。

时间复杂度的话，就是logn。

<span style="font-size:18px;">// 插入
TreeNode* Insert(ElementType x, TreeNode* T)
{
    if(T == NULL){
        T = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));
        T -> Element = x;
        T -> right = T -> left = NULL;
    }
    if(x > T -> Element){
        T -> right = Insert(x, T -> right);
    }
    else if(x < T -> Element){
        T -> left = Insert(x, left);
    }
    return T; // 不要忘了返回插入以后的二叉树。
    
}</span>

Delete:
对于二叉搜索树的删除，  是所有操作中最难的一个。（这和其他的数据结构一样，最难的操作就是删除。）

删除的情况有很多情况：
1，删除的是叶子结点：

      最简单的应该就是删除的叶子结点了。删除叶子对于其他的结点没有任何的联系，所以，直接删除就可以了。

2，删除的结点只有一个棵子树：

      对于只有一棵只树的结点，也是比较简单的，我们直接把该结点的唯一子树把该结点替换了就可以了。。

3，删除的结点有两棵子树：

     最麻烦的应该就是删除这种类型的结点了，那么我们具体应该怎么做呢？我们这样想，我们删除这个结点以后应该用谁来代替他的位置，以至于仍然还是棵二叉搜索树呢？   该节点应该小于其右子树的所有节点，大于其左子树的结点。 ------   这就是我们的线索。所以我们应该找到其左子树上的最大的结点，或者是其右子树上的最小的结点。

Code：

TreeNode* Delete(ElementType x, TreeNode* T)
{
    if(T == NULL) return NULL;
    
    if(x > T -> Element){
        T -> right = Delete(x, T -> right);
    }
    else if(x < T -> Element){
        T -> left = Delete(x, T -> left);
    }
    // 找到需要删除的结点= =
    if(x -> left && x -> right){ // 有两棵子树
        // 用其右子树上最小值的结点代替该结点
        TreeNode* submin = FindMin(T -> right);
        T -> Element = submin -> Element;
        T -> right = Delete(T -> Element, T -> right);
        // 用其左子树上最大值的结点代替该结点
        TreeNode* summax = FindMax(T -> left);
        T -> Element = summax -> Element;
        T -> left = Delete(T -> Element, T -> left);
    }
    else{ // 有一棵子树或者没有子树
        TreeNode* tmp = T;
        if(T -> left == NULL){
            T = T -> right;
        }
        else if(T -> right == NULL){
            T = T -> left;
        }
        free(tmp);
    }
}

到此为止，我们的二叉搜索树的基本操作就是这些，只是一些很基础的一些东西，希望以后有所补充。