浅谈大数的进制转换

在数据结构课关于栈的这一章中，我们都学过用“模2取余法”来将一个10进制数转换为一个二进制数，进而可以推广到“模n取余法”，经其转换为n进制（n任意指定）。

确实，这是一个很基础的题目，可你是否想过如果这个10进制数是一个大数（其位数可能上千位，此时用一般数据类型肯定是会溢出的），那么这个问题又如何来求解呢？

当然，也许你会说很简单嘛，自己写一个大数类（当然至少要写一个大数除法才行），或者你用的是Java这种现代化语言，就更轻松了，直接用BigInteger这样的大数类就可以来表示一个大数，进而用书上教的方法来实现。

但是，真的需要用到大数类吗？事实上，“杀鸡焉用牛刀“，我们在纸上模拟一番上述运算后就可以发现，只要做一些小小的改进，就可以在不使用大数的情况下，也可以通过“模n

取余”的原理来实现大数的进制转换的。（当然，整体的思想仍然是“模n取余”原理！！！）。

举个简单的例子，就比如说把10进制数12转换为2进制形式，书上的方法可以用下图来表示

按照 “先余为低位，后余为高位“这条铁律，其结果为1100.

这是书上教我们的常规思路（可惜按这个的话，大数是没法考虑的，因为假如这里不是12，而是一个1000位的大数，由于是是对大数的整体进行取余运算，不使用大数类及其

除法操作，又如何得以进行呢？），可我们的目的是不使用大数类，那么现在我们就来换一个视角来看这个问题，12是一个十位数，十位上是1，个位上是2，按照我们正常的

思维来看，这个计算应该是下面这样的：

那么我们发现在第一轮运算时，十位上的1作为被除数，2作为除数，得到的商是0，余数是1(可以断言只考虑当前这一个数位的计算，余数或是0，或是1，若是1的话，则进

下一数位（这里即对个位进行运算）时，要用1乘上进制（这里是10）再加上下一个数位上的值（这里是2）)，即得到运算进入个位时被除数是12，除数是2，得到的商是6，

数是0。第一轮运算的结果是商是06，余数是0.

进入第二轮运算，则上一轮的商6（这里首先要去掉前面多余的0）变成本轮的被除数，如此下去，即可得到每轮的余数。

推广开来，如果被除数是一个1000位的大数，例如“12343435154324123……342314324343”

那么我们照样可以从第一个数位开始逐位考虑，比如第一位是1（作为被除数），2是除数，得到的商是0，余数是1，然后是第二个数位2，由于上一位留下了余数1，则此时被

除数应该是1*10+2 = 12,所以得到的商是6，余数是0，即运算到此时的商是06，然后是第三个数位3，由于上一个数位留下的余数是0，所以此时被除数就是3，。。。如此下去

就完成第一轮的运算，这一轮完毕后，需要把得到的商变成下一轮的被除数，继续上述的运算，直到被除数为0才停止。

下面给出了一个示例代码，展示了如何将一个10进制的大数转换为其二进制形式，仅供参考：

[cpp] view plaincopy
#include <stdio.h>  
#include <string.h>  
  
char str[1000];//输入字符串  
int start[1000],ans[1000],res[1000]; //被除数，商，余数  
  
//转换前后的进制  
const int oldBase = 10;  
const int newBase = 2;  
  
void change()  
{//各个数位还原为数字形式  
    int i,len = strlen(str);  
    start[0] = len;  
    for(i=1;i<= len;i++)  
    {  
        if(str[i-1] >= '0' && str[i-1] <= '9')  
        {  
            start[i] = str[i-1] - '0';  
        }  
    }   
}  
  
void solve()  
{  
    memset(res,0,sizeof(res));//余数初始化为空  
    int y,i,j;  
    //模n取余法，(总体规律是先余为低位，后余为高位)  
    while(start[0] >= 1)  
    {//只要被除数仍然大于等于1，那就继续“模2取余”  
        y=0;  
        i=1;  
        ans[0]=start[0];  
        //  
        while(i <= start[0])  
        {  
            y = y * oldBase + start[i];  
            ans[i++] = y/newBase;  
            y %= newBase;   
        }  
        res[++res[0]] = y;//这一轮运算得到的余数  
        i = 1;  
        //找到下一轮商的起始处  
        while((i<=ans[0]) && (ans[i]==0)) i++;  
        //清除这一轮使用的被除数  
        memset(start,0,sizeof(start));  
        //本轮得到的商变为下一轮的被除数  
        for(j = i;j <= ans[0];j++)  
            start[++start[0]] = ans[j];   
        memset(ans,0,sizeof(ans)); //清除这一轮的商，为下一轮运算做准备  
    }   
}  
  
void output()  
{//从高位到低位逆序输出  
    int i;  
    for(i = res[0];i >= 1;--i)  
    {    
        printf("%d",res[i]);  
    }  
    printf("\n");   
}  
  
int main()  
{  
    scanf("%s",str);  
    change();  
    solve();  
    output();  
    return 0;  
}  

高精度进制转换模版：

/* 
高精度进制转换  
把oldBase 进制的数转化为newBase 进制的数输出。 
调用方法，输入str, oldBase newBase. 
change(); 
solve(); 
output(); 
也可以修改output(),使符合要求，或者存入另外一个字符数组，备用  
*/  
#include<stdio.h>  
#include<string.h>  
#defien MAXSIZE 1000  
char str[MAXSIZE];//输入字符串  
int start[MAXSIZE],ans[MAXSIZE],res[MAXSIZE];//被除数，商，余数  
int oleBasw,newBase;//转换前后的进制  
  
//单个字符得到数字  
int getNum(char c)//这里进制字符是先数字，后大写字母，后小写字母的   
{  
    if(c>='0'&&c<='9') return c-'0';//数字   
    if(c>='A'&&c>='Z') return c-'A'+10;//大写字母   
    return c-'a'+36;//小写字母   
}      
//数字得到字符  
char getChar(int i)  
{  
    if(i>=0&&i<=9)return i+'0';  
    if(i>=10&&i<=35)return i-'10'+'A';  
    return i-36+'a';  
}       
void change()//把输入的字符串的各个数位还原为数字形式  
{  
    int i;  
    start[0]=strlen(str);//数组的0位存的是数组长度  
    for(i=1;i<=start[0];i++)  
        start[i]=getNum(str[i-1]);   
}      
void solve()  
{  
    memset(res,0,sizeof(res));//余数位初始化为空  
    int y,i,j;  
    while(start[0]>=1)   
    {  
        y=0;i=1;  
        ans[0]=start[0];  
        while(i<=start[0])  
        {  
            y=y*oldBase+start[i];  
            ans[i++]=y/newBase;  
            y%=newBase;  
        }      
        res[++res[0]]=y;//这一轮得到的余数  
        i=1;//找下一轮商的起始处，去掉前面的0  
        while(i<=ans[0]&&ans[i]==0) i++;  
        memset(start,0,sizeof(start));  
        for(j=i;j<ans[0];j++)  
           start[++start[0]]=ans[j];  
        memset(ans,0,sizeof(ans));   
    }      
}    
void output()//从高位到低位逆序输出   
{  
    int i;  
    for(i=res[0];i>=1;i--)  
        printf("%d",getChar(res[i]));  
    printf("\n");  
}