N皇后问题

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问题：

题目来源于国际象棋的玩法，因为皇后所在的位置可以纵向、横向、两个斜向四个方向的“捕捉”，所以8皇后问题就是要求如何布置8个皇后在8*8的棋盘上而使他们互相无法“捕捉”。也就是说不存在两个皇后同行或同列，或在同一斜线上。而N皇后问题就是如何布置N个皇后在N*N棋盘里使不存在两个皇后在同行同列和同一斜线上

题解：

给棋盘的行和列都编上1到N的号码，皇后也给编上1到N的号码。由于一个皇后应在不同的行上，为不失一般性，可以假定第i个皇后将放在第i行上的某列。因此N皇后问题的解空间可以用一个N元组（X1，X2，.....Xn）来表示，其中Xi是放置皇后i所在的列号。这意味着所有的解都是N元组（1，2，3，.......，N）的置换。解空间大小为N！。其次我们看约束条件：因为解空间已经给我们排除了不在同一行（因为每个皇后分别已经对应不同的行号）的约束条件。我们要判断的是不在同一列和不在同一斜线的约束。因为Xi表示皇后所在的列号，所以如果存在X（k）=X（i）那么肯定存在第k个皇后和第i个皇后同列。所以不同列的判段条件是X（k）！=X（i），1<k<i 。又因为同一斜线的特征是要么行号和列号之和不变（右高左低）要么是行号和列号只差相等（左高右低），所以同斜线的判断条件是 i+X（i）=  k+X（k) 或 i-X(i) =k-X(k),两式合并得 |X(i)-X(k)|=|i-k|  。

        编程基本思路：X(j)表示一个解的空间，j表示行数，里面的值表示可以放置在的列数，抽象约束条件得到能放置一个皇后的约束条件(1)X(i)!=X(k);(2)abs(X(i)-X(k))!=abs(i-k)。应用回溯法，当可以放置皇后时就继续到下一行，不行的话就返回到第一行，重新检验要放的列数，如此反复，直到将所有解解出。

代码：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;

int f[20];//f[i]=j,表示在第i行第j列放置一个皇后，相当于压缩成一维

bool put_suitable(int k)
{
	 //判断当前第k行在第f[k]列放置一个皇后是否合理，所以需要跟之前的所有行的皇后进行比较，判断是否有冲突
	 for (int i = 1; i <k ; i++)
	 {
		 if (f[i]==f[k] || abs(f[i]-f[k])==abs(i-k))//PS:今天才知道fabs是求实数的绝对值，abs是求int型的绝对值= =
		 {
			 return false;
		 }
	 }
	 return true;//如果所有行都满足情况，那么当前放置情况是合理的
}

int main()
{
	int n,i,k;
	int num;
	while (scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		num=0;
		memset(f,0,sizeof(f));
		k=1;
		f[k]=0;//k表示当前搜索到第k行
		while (k>0)//如果回溯到k=0的话，表明所有的情况都试完了，就可以跳出循环了
		{
			f[k]++;//当前第k行从小到大开始搜索列数
			while (  f[k]<=n  &&  !put_suitable(k)  )//表明在搜索到第n列之前，如果不满足当前f[k]列放置一个皇后的话，就搜索下一列，直至搜到符合情况或把n列都搜完
			{
				f[k]++;
			}

			if (f[k]<=n)//说明在n列内找到了一个可行的情况
			{
				if (k==n)//说明搜到最后一行，那就是找到了一个完整的解
				{
					num++;
					for ( i = 1; i <=n ; i++)
					{
						printf("%d ",f[i]);//输出
					}
					printf("\n");
				}
				else
				{
					k++;f[k]=0;//如果不到最后一行，那就继续往下搜索，重新初始化新一行
				}
			}
			else
			{
				k--;//说明没有可行解，就回溯到上一行重新往下搜
			}
		}
		printf("%d\n\n",num);
	}
	return 0;
}