题目1447：最短路 {最短路径问题}

题目描述：

在每年的校赛里，所有进入决赛的同学都会获得一件很漂亮的t-shirt。但是每当我们的工作人员把上百件的衣服从商店运回到赛场的时候，却是非常累的！所以现在他们想要寻找最短的从商店到赛场的路线，你可以帮助他们吗？

输入：

输入包括多组数据。每组数据第一行是两个整数N、M（N<=100，M<=10000），N表示成都的大街上有几个路口，标号为1的路口是商店所在地，标号为N的路口是赛场所在地，M则表示在成都有几条路。N=M=0表示输入结束。接下来M行，每行包括3个整数A，B，C（1<=A,B<=N,1<=C<=1000）,表示在路口A与路口B之间有一条路，我们的工作人员需要C分钟的时间走过这条路。输入保证至少存在1条商店到赛场的路线。
当输入为两个0时，输入结束。

输出：

对于每组输入，输出一行，表示工作人员从商店走到赛场的最短时间。

样例输入：

2 1
1 2 3
3 3
1 2 5
2 3 5
3 1 2
0 0

样例输出：

3
2

代码：

#include <stdio.h>
int ans[101][101];
void getShortest(int n) {
    for(int k=1;k<=n;k++) 
	for(int i=1;i<=n;i++)
	    for(int j=1;j<=n;j++) {
		if(ans[i][k] == -1 || ans[k][j] == -1)
		    continue;
		if(ans[i][j] == -1 || ans[i][k]+ans[k][j] < ans[i][j])
		    ans[i][j] = ans[i][k] + ans[k][j];
	    }
}


int main() {
    int n,m;
    while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF) {
	if(n == 0 && m==0) break;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
	    for(int j=1;j<=n;j++)
		ans[i][j] = -1;
	    ans[i][i] = 0;
	}
	int a,b,c;
	for(int i=1;i<=m;i++) {
	    scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
	    ans[a][b] = ans[b][a] = c;
	}
	getShortest(n);
	printf("%d\n",ans[1][n]);
    }
    return 0;
}

最短路径：

1.定义：寻找图中某两个特定结点间最短的路径长度

2.Floyd算法。

使用邻接矩阵保存图，此时edge[i][j]的值表示从结点i到结点j，中间不经过任何结点时距离的最小值。

假设结点的编号为1到N，更一般的情况，若edge[i][j]表示从结点i到结点j，中间只能经过编号小于k的点时的最短路径长度，

我们确定edge[i][k] + edge[j][k]的值与edge[i][j]的值，若前者较小则该值代表了新情况中从结点i到结点j的最短路径长度；

否则，该路径长度保持不变。

依次为中间允许经过的结点添加结点1，结点2.。。。。直到结点N，完成后，从结点i都结点j允许经过所有结点的最短路径长度就可以确定了。

代码如下：

 for(int k=1;k<=n;k++) 
	for(int i=1;i<=n;i++)
	    for(int j=1;j<=n;j++) {
		if(ans[i][k] == 无穷大 || ans[k][j] == 无穷大)
		    continue;
		if(ans[i][j] == 无穷大 || ans[i][k]+ans[k][j] < ans[i][j])
		    ans[i][j] = ans[i][k] + ans[k][j];
	    }

3.Floyd算法特点。

①算法复杂度为O(N^3)，一般求解的图的大小不超过200个结点，否则可能超时。

②该算法是利用一个二维矩阵进行相关计算的。注意若图中两个结点之间有多余的边时，我们将边权最小的存入。

③算法完成后，所有结点间的最短路径长度都确定了。