选择排序

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选择排序排序
　　选择排序(Selection Sort)的基本思想是：每一趟从待排序的记录中选出关键字最小的记录，顺序放在已排好序的子文件的最后，直到全部记录排序完毕。
　　　常用的选择排序方法有简单选择排序和堆排序。
简单选择排序
　　简单选择排序(simple selection sort)也是直接选择排序。此方法在一些高级语言课程中做过介绍，是一种较为容易理解的方法。
1.算法思想
　　对于一组关键字{K₁,K₂,…,K_n}，首先从K₁,K₂,…,K_n中选择最小值，假如它是 K_z，则将K_z与 K₁对换；然后从K₂，K₃，… ，K_n中选择最小值 K_z，再将K_z与K₂对换。如此进行选择和调换n-2趟，第(n-1)趟，从K_n-1、K_n中选择最小值 K_z将K_z与K_n-1对换，最后剩下的就是该序列中的最大值，一个由小到大的有序序列就这样形成。
【例】图9.6是一个有5个关键字{3,4,1,5,2}的简单选择排序过程的示意图。

2.具体算法
上面算法假设用变量z记下较小值的下标，则算法如下：
template<class T>
  void sisort(T a[],int n)
   { for(i=0;i<n;i++)
      { z=i;
        for(j=i+1;j<n;j++)if(a[j].key<a[z].key)a=j;
        if(z>i){x=a[i];a[i]=a[z];a[z]=x;}
      }
   }    //sisort
3.算法的时间复杂度
    该算法的时间复杂度为 O(n²)。并且排序是稳定的。

堆排序
　　 1.定义
　　树形选择排序(锦标赛排序)，1964年威洛姆斯(J.Willioms)提出了进一步改正的排序方法，即堆排序(heap sort)。
堆是n个元素的有限序列{ K1,K2,…,Kn }，它当且仅当满足如下关系：

　　这是一个上小、底大的堆。若是一个上大、底小的堆，只需把“ <= ”改为“ >= ”即可。堆是一种数据元素之间的逻辑关系，常用向量做存储结构。对于满二叉树，当对它的结点由上而下，自左至右编号之后，编号为 i 的结点是编号为 2i 和 2i+1 结点的双亲。反过来讲，结点 2i 是结点 i 的左孩子，结点 2i+1 是结点 i 的右孩子。图 9.7 表示完全二叉树和它在向量中的存储状态。结点编号对应向量中的下标号。
　　用堆的概念分析向量中的数据，它显然满足（上小、底大）堆的关系。不难看出满足堆的逻辑关系的一组数据，可画成二叉树的形状，并且它是一棵完全二叉树树形。因此，也可借助完全二叉树来描述堆的概念。若完全二叉树中任一非叶子结点的值小于等于（或大于等于）其左、右孩子结点的值，则从根结点开始按结点编号排列所得的结点序列就是一个堆。在图 9.8 中 (a) 、 (c) 是堆， (b) 、 (d) 不是堆。

2.堆排序的算法思想
    堆排序利用了大根堆(或小根堆)堆顶记录的关键字最大(或最小)这一特征，使得在当前无序区中选取最大(或最小)关键字的记录变得简单。

（1）用大根堆排序的基本思想
　　① 先将初始文件R[1..n]建成一个大根堆，此堆为初始的无序区
　　② 再将关键字最大的记录R[1](即堆顶)和无序区的最后一个记录R[n]交换，由此得到新的无序区R[1..n-1]和有序区R[n]，且满足R[1..n-1].keys≤R[n].key
　　③ 由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质，故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。然后再次将R[1..n-1]中关键字最大的记录R[1]和该区间的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区R[1..n-2]和有序区R[n-1..n]，且仍满足关系R[1..n-2].keys≤R[n-1..n].keys，同样要将R[1..n-2]调整为堆。
    ……
直到无序区只有一个元素为止。

（2）大根堆排序算法的基本操作：
　　① 初始化操作：将R[1..n]构造为初始堆；
　　② 每一趟排序的基本操作：将当前无序区的堆顶记录R[1]和该区间的最后一个记录交换，然后将新的无序区调整为堆(亦称重建堆)。
  注意：
　　①只需做n-1趟排序，选出较大的n-1个关键字即可以使得文件递增有序。
　　②用小根堆排序与利用大根堆类似，只不过其排序结果是递减有序的。堆排序和直接选择排序相反：在任何时刻，堆排序中无序区总是在有序区之前，且有序区是在原向量的尾部由后往前逐步扩大至整个向量为止。
3.具体算法
template<class T>
  heapsort(T r[],int n)   //n为文件的实际记录数，r[0]没有使用
  { int i,m;node x;
    for(i=/2;i>=1;i--)heappass(r,i,n);   //初建堆
  //以下for语句为输出堆顶元素、调整堆操作
    for(m=n-1;m>=1;m--)//逻辑堆尾下标m不断变小
       { cout<<r[1].key<<" ";
          x=r[1];r[1]=r[m+1];r[m+1]=x;    //堆顶与堆尾元素对换
          heappass(r,1,m);//恢复堆
       }
     cout<<r[1].key<<endl;
  } //heapsort
4.算法时间复杂度
　　堆排序中 heap 算法的时间复杂度与堆所对应的完全二叉树的树高度 log₂n 相关。而 heapsort 中对 heap 的调用数量级为n，所以堆排序的整个时间复杂度为O(nlog₂n) 。并且堆排序是不稳定的。