439 E. Devu and Birthday Celebration

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本文探讨了一个关于物品分组计数的问题，并提出了一种使用Mobius函数进行优化计算的方法。通过数学推导和算法实现，解决了特定条件下分组方案数量的计算问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

/*
 题目大意:有n个物品,分成f份,这f份的最大公约数是1的种类数目
 记答案为P(n,f,1)
 则有sigma(P(n,f,i)) = C(n-1,f-1)(n件物品分为f份的总方法数)
 注意到P(n,f,i) = P(n/i,f,1).
 我们可以记P(n,f,1)为g(n,f)
 则有sigma(d|n) g(d,f) = C(n-1,f-1).
 令右边为f(n,f)
 则可以利用mobius函数简化计算.
 */
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define LL long long
#define MAXN 100010
#define MOD 1000000007
LL  mul[MAXN];
LL  in[MAXN];
LL  v[MAXN];

void extend_gcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y)
{
    if(!b)
    {
        d=a;
        x=1;
        y=0;
    }else{
        extend_gcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=x*(a/b);
    }
}

LL inv(LL a,LL n)
{
    LL d,x,y;
    extend_gcd(a, n, d, x, y);
    return d == 1? (x+n)%n:-1;
}

void init()
{
    mul[0]=1;
    in[0]=1;
    for(int i=1;i<MAXN;++i)
    {
        mul[i]=(mul[i-1]*(LL)i)%MOD;
        in[i]=inv(mul[i],MOD);
    }
    //calculate mobius function
    v[1]=1;
    v[2]=-1;
    v[3]=-1;
    for(int i=4;i<MAXN;++i)
    {
        int tmp = i;
        int cnt = 0;
        for(int j=2;j*j<=i;++j)
        {
            if(tmp==1)  break;
            if(tmp%j==0)
            {
                cnt ++;
                tmp/=j;
                if(tmp%j==0)
                {
                    cnt = -1;
                }
            }
            if(cnt==-1)
                break;
        }
        if(cnt==-1)
        {
            v[i]=0;
        }
        else
        {
            if(tmp!=1)  cnt++;
            if(cnt%2==1)    v[i]=-1;
            else    v[i]=1;
        }
    }
    //printf("%lld\n",v[30]);
    //for(int i=1;i<=20;++i)
    //printf("%lld\n",v[97]);
    //printf("\n");
}

LL  calc(int n,int k)
{
    if(n<0)  return 0;
    if(k>n)  return 0;
    if(k<0)  return 0;
    LL ans=1;
    ans = (ans*mul[n])%MOD;
    ans = (ans*in[k])%MOD;
    ans = (ans*in[n-k])%MOD;
    return (ans+MOD)%MOD;
}

LL  solve(int n,int f)
{
    LL ans=0;
    for(int i=1;i*i<=n;++i)
    {
        if(n%i==0)
        {
            LL  tmp = v[n/i];
            tmp = (MOD + tmp*calc(i-1,f-1))%MOD;
            ans = (ans + tmp)%MOD;
            if(i*i!=n)
            {
                tmp = v[i];
                tmp = (MOD + tmp*calc((n/i)-1,f-1))%MOD;
                ans = (ans + tmp)%MOD;
            }
        }
    }
    return ans;
}

int main()
{
    init();
    int Q;
    scanf("%d",&Q);
    while(Q--)
    {
        int n,f;
        scanf("%d%d",&n,&f);
        printf("%lld\n",solve(n,f));
    }
    return 0;
}