DHU 2993 MAX Average Program

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动态规划DP

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优化

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本文介绍了一种使用动态规划（DP）和斜率优化技术来解决寻找长度不少于K的连续子序列最大平均值的问题。通过构建辅助函数并维护凸折线，实现复杂度优化。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接

大意：求长度不少与K的连续子序列的最大平均值。

分析：

DP ： dp[ i ] = max { (sum[ i ] - sum[ j ] ) / (i - j) | i - j >=k }

可以通过斜率优化降低复杂度。

做出 sum [ x ] - x 的函数图，即求x距离>=k 的两点间的最大斜率。

斜率最大是必然是i 与前面的点 j 相切时，容易发现j 不可能是上凸的点。

故可维护以下凸的折线来解决。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=100050;
const double eps = 1e-6;
int sum[maxn] ,que[maxn] , head ,tail ,N,K;
double dp[maxn];
double rate(int i,int j){
    return (((double)sum[j] - sum[i]) / (j-i) ) ;
}
int readint(){
    char c=getchar();
    int ans = 0;
    while(c<'0' || c>'9') c=getchar();
    while(c>='0' && c<='9') ans = ans *10 + c-'0' , c=getchar() ;
    return ans;
}
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&N,&K)!=EOF){
        sum[0] = 0 , dp[0] = 0;
        int M = 0 , tmp;
        for(int i=1;i<=N;i++){ 
            tmp = readint();
            sum[i] = sum[i-1] + tmp ;
            M = max(tmp ,M );
        }
        if(K<=1) {printf("%d.00\n",M); continue;}
        head = tail = 0  ,que[0] = 0;
        for(int i=0;i<K;i++) dp[i] = 0.0;
        double ans = 0.0;
        for(int i=K;i<=N;i++){
            while(head < tail && rate(que[head],i)-rate(que[head+1],i) < eps)
                head++;      //若以确定最优点是P，则P之前的点不可能更优了 ， 画图即可发现。
            dp[i] = rate(que[head] , i);
            ans = max (ans , dp[i]);
            int z = i-K+1;
            while(head < tail){
                int x=que[tail-1] , y=que[tail];
                if(rate(x,y) - rate(y,z) > -eps) tail--;
                else break;
            }
            que[++tail] = z;
        }
        printf("%.2f\n",ans);
    }
    return 0;
}