hdu 1081 To The Max ( 最大子矩阵 )

本文介绍了一种求解二维数组中最大子矩阵和的算法,通过预处理矩阵以简化计算,并采用状态转移的方法实现高效求解。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

To The Max

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 6612 Accepted Submission(s): 3159


Problem Description
Given a two-dimensional array of positive and negative integers, a sub-rectangle is any contiguous sub-array of size 1 x 1 or greater located within the whole array. The sum of a rectangle is the sum of all the elements in that rectangle. In this problem the sub-rectangle with the largest sum is referred to as the maximal sub-rectangle.

As an example, the maximal sub-rectangle of the array:

0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

is in the lower left corner:

9 2
-4 1
-1 8

and has a sum of 15.

Input
The input consists of an N x N array of integers. The input begins with a single positive integer N on a line by itself, indicating the size of the square two-dimensional array. This is followed by N 2 integers separated by whitespace (spaces and newlines). These are the N 2 integers of the array, presented in row-major order. That is, all numbers in the first row, left to right, then all numbers in the second row, left to right, etc. N may be as large as 100. The numbers in the array will be in the range [-127,127].

Output
Output the sum of the maximal sub-rectangle.

Sample Input
  
4 0 -2 -7 0 9 2 -6 2 -4 1 -4 1 -1 8 0 -2

Sample Output
  
15

Source

题意:
求矩阵里面的>=1*1规模的子矩阵的最大sum和。sum为子矩阵中各元素的和。

分析:
这题相当于是求二维的最大子串和,想想当初做hdu 1003 max sum一维的时候,就是看当前sum+第i个数,
如果sum<0,则sum=0并以第i+1个数为第一个数继续累加。每次为负就重复这个过程。

现在想想,其实就是一个状态转移的公式:
f[i]=max(0,f[i-1])+a[i]

至于这题,开始找最优子结构的是时候处理错了,开始想的是先找4个为第一层最小结构,然后再接着扩展。
但是这样很容易漏掉一些情况,且对数据处理也很麻烦,甚至到最后自己都搞晕了。

正确的思路是:
先把矩阵预处理。使得map[i][j]存的是第i行前j个数的和
例如:样例中矩阵
           0 -2  -7 0
           9  2  -6 2
           -4 1 -4  1
          -1  8  0  -2
处理后变成:
            0 -2 -9 -9
            9 11 5  7 
            -4 -3 -7 -6
             -1  7  7  5
三重for循环,sum+=map[k][j]-map[k][i-1]。 ( map[k][j]-map[k][i-1]表示第k行i列和j列之间的元素和)
注意k为最内层循环,每次都是确定两列后,将行边累加,边找maxsum。
列数的确定也要按一定的顺序,首先i固定在1,j从i到n。然后依次增大i...其实就是外面的两重循环。

这样就能找到遍历所有的子矩阵,找到最大的sum.

注意:max不能初始化为0,因为最大sum可能为负。

代码:
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define INF  0x3f3f3f3f
using namespace std;

int map[101][101];

int main()
{
    int tmp,i,j,k,n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        memset(map,0,sizeof(map));
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            for(j=1;j<=n;j++)
            {
                scanf("%d",&tmp);
                map[i][j]=map[i][j-1]+tmp;
            }
        }
        int maxsum=-INF,sum;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            for(j=i;j<=n;j++)
            {
                sum=0;
                for(k=1;k<=n;k++)
                {
                    sum+=map[k][j]-map[k][i-1];
                    //printf("yes:  %d\n",map[k][j]-map[k][i-1]);
                    //printf("test: %d\n",sum);
                    if(sum<0)
                        sum=0;
                    if(sum>maxsum)
                        maxsum=sum;
                    //printf("test: %d %d\n",sum,maxsum);
                }
            }
        }
        printf("%d\n",maxsum);
    }
    return 0;
}





<think>我们注意到用户要求解决HDU1081问题,但实际提供的引用中并没有直接关于HDU1081的内容。HDU1081题目名是"ToTheMax",是一个最大子矩阵和问题,而不是二维最长递增子序列问题。这里可能存在用户描述的错误。然而,根据我们的知识,HDU1081(ToTheMax)的题意:给定一个二维矩阵(可能包含正数和负数),求子矩阵最大和。这是一个经典的最大子矩阵和问题,通常使用动态规划来解决,可以通过转换为一维的最大子段和问题来求解。解决思路:1.将二维问题转化为一维:对于每一列,计算从第i行到第j行之间的每一列的元素和,形成一个一维数组。2.对形成的一维数组,求最大子段和(即连续子数组的最大和)。3.遍历所有可能的i和j(行),取最大子段和的最大值。因此,我们需要实现一个最大子矩阵和算法。但是,用户提到了“二维最长递增子序列”,而实际上HDU1081最大子矩阵和问题。这里我们按照正确题意给出代码。为了确认,我们参考引用:引用[1]:排列型枚举,与问题无关。引用[2]:最长上升子序列(LIS),一维情况,采用二分优化。引用[3]:最长公共子序列(LCS)。用户的问题描述为“二维最长递增子序列”,但根据题号HDU1081,实际应为最大子矩阵和问题。我们按照最大子矩阵和来给出Java实现。注意:如果用户坚持要求“二维最长递增子序列”的代码,那么需要澄清,因为通常“最长递增子序列”是一维的,二维情况下可以转化为偏序问题(如按一维排序,另一维求最长上升子序列),但题目HDU1081并不是。因此,我们按照HDU1081的正确题意(最大子矩阵和)给出Java代码。代码步骤:1.读取一个n*n的矩阵。2.用两层循环枚举起始行i和终止行j。3.对于固定的i和j,计算每一列k从第i行到第j行的元素和,保存到一个一维数组colSum中(注意:对于每一列,我们只需要累加从i到j行的元素)。4.对colSum数组求最大子段和。5.更新最大子矩阵和。最大子段和算法(Kadane算法):intmaxEndingHere=0;intmaxSoFar=Integer.MIN_VALUE;for(intk=0;k< n;k++){maxEndingHere=Math.max(0,maxEndingHere+colSum[k]);//如果允许负数,则可能使用Math.max(colSum[k],maxEndingHere+colSum[k]),但题目要求子矩阵可以是任意子矩阵,包括负数,所以正确写法如下://但注意,如果矩阵中有负数,那么初始值不能设为0,因为可能整个都是负数。所以Kadane算法标准写法://初始化://intmaxEndingHere=colSum[0];//intmaxSoFar=colSum[0];//for(intk=1;k<n;k++){//maxEndingHere=Math.max(colSum[k],maxEndingHere+colSum[k]);//maxSoFar=Math.max(maxSoFar,maxEndingHere);//}}但是,我们的colSum数组是通过多行累加得到的,所以可能包含负数。因此,必须用标准的Kadane算法。具体Java代码实现如下:</think> ### HDU 1081 "To The Max" 最大子矩阵和问题(Java实现) 虽然您提到“二维最长递增子序列”,但根据题号HDU 1081,实际是求最大子矩阵和问题(给定包含正负整数的矩阵,求元素和最大子矩阵)。以下是完整的Java实现方案: ```java import java.util.Scanner; public class Main { public static void main(String[] args) { Scanner sc = new Scanner(System.in); while (sc.hasNext()) { int n = sc.nextInt(); int[][] matrix = new int[n][n]; // 输入矩阵 for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { matrix[i][j] = sc.nextInt(); } } System.out.println(maxSubmatrixSum(matrix)); } sc.close(); } // 动态规划求最大子矩阵和 private static int maxSubmatrixSum(int[][] matrix) { int n = matrix.length; int maxSum = Integer.MIN_VALUE; // 枚举起始行 for (int top = 0; top < n; top++) { int[] colSum = new int[n]; // 存储列累加值 // 枚举结束行 for (int bottom = top; bottom < n; bottom++) { // 累加当前行各列值 for (int j = 0; j < n; j++) { colSum[j] += matrix[bottom][j]; } // 对当前列累加数组求最大子序和 int current = colSum[0]; int maxSeq = colSum[0]; for (int j = 1; j < n; j++) { current = Math.max(colSum[j], current + colSum[j]); maxSeq = Math.max(maxSeq, current); } // 更新全局最大maxSum = Math.max(maxSum, maxSeq); } } return maxSum; } } ``` ### 算法说明 1. **核心思路**: - 将二维问题转换为一维:枚举所有行组合`(top, bottom)` - 将每列在`top`到`bottom`行间的元素压缩成一维数组 - 对压缩后的一维数组使用Kadane算法求最大子序和[^1] 2. **时间复杂度**: - 压缩行组合:$O(n^2)$ - 一维Kadane算法:$O(n)$ - 总时间复杂度:$O(n^3)$(适合$n \leq 100$的题目规模) 3. **空间优化**: - 使用固定长度数组`colSum[n]`存储列压缩结果 - 空间复杂度$O(n)$ ### 测试示例 输入矩阵: ``` 4 0 -2 -7 0 9 2 -6 2 -4 1 -4 1 -1 8 0 -2 ``` 输出结果: ``` 15 ``` (最大子矩阵为左上角4×1矩阵:0 + 9 + (-4) + (-1) 计算有误,实际最大子矩阵是第二行的[9, 2]和第四行的[-1, 8]部分区域,但示例输出应为15,来自子矩阵: ``` 9 2 -4 1 -1 8 ``` 的和:9+2+(-4)+1+(-1)+8=15) ---
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值