codeforce 939E 差分+二分/三分

最新推荐文章于 2022-10-06 20:32:36 发布

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本文解析了CodeForces 939E题目的算法思路，通过数学推导介绍了如何利用二分法求解最大值问题，特别关注于函数极值的寻找方法。

传送门：http://codeforces.com/problemset/problem/939/E

题意：

有两种操作：

（1）在集合S中插入一个元素

（2）输出最大的 $Max(s)-mean(s)$ ——其中s是集合的子集，Max(s)表示s中最大的元素，mean(s)表示s的平均值

（3）输入保证插入的元素比原集合中的所有元素都要大

分析：

（1）有一个前提条件：所选的最优的集合s必然包含集合S中最大的元素，其他元素必然是S的一个前缀

（2）函数 $Max(s)-mean(s)$ 有极值

（3）对于有极值的函数考虑用二分或者三分的思路求解

题解（二分思路）：

设
$m i = a n - a n + \sum i - 1 j = 0 a j i + 1$ $m_i=a_n- \frac{a_n+\sum_{j=0}^{i-1} a_j }{i+1}$

得 $m_{i+1}-m_i$ = $a_n+\sum_{j=0}^{i-1}a_j-a_i(i+1)$ (此处去除了分母，因为分母对于函数的正负号没有影响，而二分过程只与函数的正负号有关，故可以去除分母)

设 $f(i)=m_{i+1}-m_i$

可以用前一项减去后一项来证明证明 $f(i)$ 是非递减的

二分找到最小的 $i$ 使得 $f(i)<=0$ 时 $Max(s)-mean(s)$ 取得最大值

代码：

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long sum[500005];
long long a[500005];
int main()
{
    int q;
    cin>>q;
    int cnt=0;
    memset(a,0,sizeof a);
    memset(sum,0,sizeof sum);
    double ans=0;
    while(q--)
    {
        int op;
        cin>>op;
        if(op==1)
        {
            cin>>a[cnt];
            int l=0,r=cnt;
            if(cnt>=1)
                sum[cnt]=sum[cnt-1]+a[cnt];
            else
                sum[cnt]=a[cnt];
            while(l<r)
            {
                int mid=(l+r)/2;
                long long fi;
                if(mid!=0)
                    fi=a[cnt]+sum[mid-1]-a[mid]*(mid+1);
                else
                    fi=a[cnt]-a[mid]*(mid+1);
                if(fi<=0) r=mid;
                else l=mid+1;
            }
            double avg=1.0*(sum[r-1]+a[cnt])/(r+1);
            double tmp=a[cnt]-avg;
            ans=max(ans,tmp);
            cnt++;
        }else{
            printf("%.10f\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}