前向星——附带欧拉回路求解

前向星

• 用head[i]记录以i为边集在数组中的第一个存储位置
• 通过struct的next找到下一个位置，是一个变形的邻接表
• 时间空间复杂度都很小，占用很少的额外空间，是目前建图和遍历效率最高的储存方式

推荐文章：http://blog.youkuaiyun.com/acdreamers/article/details/16902023

构建与遍历代码：

int head[Max_N]={-1};
struct Edge{
    int to,next,w;
}edge[Max_M];
int main()
{
    memset(s,0,sizeof s);       //若从0开始，memset为-1
    for(int i=1;i<=m;i++)       //m为边数
    {
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        edge[i].to=b;
        edge[i].w=c;
        edge[i].next=head[a];
        head[a]=i;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)      //n为顶点数
    {
        for(int k=head[i];k!=0;k=edge[k].next)
        {
            cout<<i<<" "<<edge[k].to<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

欧拉回路的求解

• 欧拉通路: 通过图中每条边且只通过一次，并且经过每一顶点的通路
• 欧拉回路: 通过图中每条边且只通过一次，并且经过每一顶点的回路
• 有向图的基图：忽略有向图所有边的方向，得到的无向图称为该有向图的基图。

• 无向图
  设G是连通无向图，则称经过G的每条边一次并且仅一次的路径为欧拉通路；
  如果欧拉通路是回路（起点和终点是同一个顶点），则称此回路是欧拉回路
  具有欧拉回路的无向图G成为欧拉图
  有向图
  （1）设D是有向图，D的基图连通，则称经过D的每条边一次并且仅有一次的有向路径为 有向欧拉通路
  （2）如果有向欧拉通路是有向回路，则称此有向回路为 有向欧拉回路
  （3）具有有向欧拉回路的图D称为有向欧拉图
  定理
  无向图G存在欧拉通路的充要条件是：G为连通图，并且G仅有两个奇度结点（度数为奇数的顶点）或者无奇度结点。
  推论
  （1） 当G是仅有两个奇度结点的连通图时，G的欧拉通路必以此两个结点为端点；
  （2）当G是无奇度结点的连通图时，G必有欧拉回路
  （3）G为欧拉图（存在欧拉回路）的充分必要条件是 G为无奇度结点的连通图

• （有向图） 定理
  有向图D存在欧拉通路的充要条件是：D为有向图，D的基图连通，并且所有顶点的出度与入度相等；或者 除两个顶点外，其余顶点的出度与入度都相等，而这两个顶点中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的出度与入度之差为-1.
  推论
  （1）当D除出、入度之差为1，-1的两个顶点之外，其余顶点的出度与入度相等时，D的有向欧拉通路必以出、入度之差为1的顶点作为始点，以出、入度之差为-1的顶点作为终点。
  （2）当D的所有顶点的出、入度都相等时，D中存在有向欧拉回路。
  （3）有向图D为有向欧拉图的充要条件是 D的基图为连通图，并且所有顶点的出、入度都相等。

两种方法：（1）DFS搜索 （Fleury）佛罗莱算法
（1）DFS搜索 思想求解欧拉回路的思路为：利用欧拉定理判断出一个图存在欧拉通路或欧拉回路后，选择一个正确的起始顶点，用DFS算法遍历所有的边（每条边只遍历一次），遇到走不通就回退。在搜索前进方向上将遍历过的边按顺序记录下来。这组边的排列就组成了一条欧拉通路或回路。
（2） （Fleury）佛罗莱算法
设G为一个无向欧拉图，求G中一条欧拉回路的算法如下：
（1） 任取G中一顶点v0，令P0=v0；
（2）假设沿Pi=v0e1v1e2v2……eivi走到顶点vi，按下面方法从E(G)-{e1,e2,…,ei}中选ei+1。
ei+1与vi相关联
除非无别的边可供选择，否则ei+1不应该是Gi=G-{e1,e2,…,ei}中的桥。
（3）当（2）不能再进行时算法停止。
可以证明的是，当算法停止时，所得到的简单回路Pm=v0e1v1e2v2……emvm，（vm=v0）为G中一条欧拉回路。

以上知识点来源自百度，侵删

 void dfs(int x)
 {
     t.push(x);
     for(int i=1;i<=n;i++)
     {
         if(path[x][i])         //找到连边并删除，从该点继续dfs
         {
             path[x][i]=path[i][x]=0;//删除此边
             dfs(i);
             break;
         }
     }
 }
 void  Fleury(int x)
 {
     t.push(x);
     while(!t.empty())
     {
         int b=0;
         for(int i=1;i<=n;i++)
         {
             if(path[t.top()][i])
             {
                 b=1;
                 break;
             }
         }
         if(!b)                       //如果改点没有连边
         {
             printf("%d ",t.top());  //输出该点     输出路径
             t.pop();
         }
         else                //否则 对这点进行深搜
         {
             int y=t.top();
             t.pop();
             dfs(y);
         }
     }
     printf("\n");
  }

使用前向星求路径的解法

int ans[max_m];
int ansi=0;  //for counting
bool visit[2*max_m];    //"2*" means undirected graph
void dfs(int now)
{
    for(int k=edge[now][i];k!=0;k=edge[k].next)
    {
        if(!vis[k])
        {
            vis[k]=true;         //sign the edge
            vis[k^1]=true;       //sign the reverse edge
            dfs(edge[k].to);
            ans[cnt++]=k;
        }
    }
}