GMM：高斯混合模型的数学推导笔记(上)

———————————————————————————————————————————————————————————————————————————

注：在OpenCV中有背景提取的函数，在OpenCV中BackgroundSubtractor类型下面的几个函数中BackgroundSubstractorMOG2就是对高斯混合模型的C++实现。如果想看源代码可以直接去OpenCV文件夹下自行查找。另外，还有一个函数BackgroundSubstractorKNN，我测试的效果比前一个更好，后面会介绍KNN对应的模型。

———————————————————————————————————————————————————————————————————————————

本文介绍高斯混合模型（Gaussian mixture model,简称GMM）及其推导。从数学角度来看待该模型。该模型是对单一高斯概率密度函数的扩展延伸。可以对任意形状的密度分布进行平滑的近似。其在图像处理领域，可以实现提取背景图像。

∮第一部分 单一高斯概率密度函数的参数估测法

假设一组d维度的点,i=1,2,3....n,如果这些点的分布近似椭圆球形，那么我们可以使用高斯密度函数进行刻画：

其中： μ为中心点，∑ 代表此密度函数的共变异矩阵，这些参数决定了函数形状的中心，宽幅，走向等等。

注释：共变异矩阵也就是协方差矩阵，分别为m与n个标量元素的列向量随机变量X与Y，二者对应的期望值分别为μ与ν，这两个变量之间的协方差定义为m×