Topcoder SRM 547 DIV1 Level 1: Pillars

最新推荐文章于 2024-10-01 18:52:56 发布

原创最新推荐文章于 2024-10-01 18:52:56 发布 · 516 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#TopCoder #动态规划

TopCoder 专栏收录该内容

5 篇文章

订阅专栏

本文针对Topcoder上的一道难题进行了解析，提出了两种高效的求解方法，并详细解释了其背后的数学原理及动态规划思想。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目： http://community.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=12055&rd=14739

题目大意：对所有的1<=x<=X， 1<=y<=Y和给定的w，求s = sqrt（w*w + （x-y）*（x-y））的平均值。

解题报告：

如果枚举所有可能情况，则时间复杂度为O（X* Y），该题中X和Y分别最大值为100000，显然暴力枚举过不了测试。具体分析发现公式S显然只随着d=y-x在变化，原来的枚举空间中有很多次重复的计算。假设y>x（如果不大于，交换两个数），则d=1,2,...,K=Y-X 分别有X条；d= K+1， K+2, ..., Y-1分别有X-1,X-2,...,1条； d= -1, -2, ..., -X+1分别有X-1,X-2,...,1条。分别求出d=1，2，。。。，Y-1的各个边长，再求和取平均，即可得最终结果。时间复杂度为O（max{X,Y }）.

解法二：动态规划求解

Let's have a look at the sum of all possible lengthes. Let d(i, j) be the length between two pillars with heights i and j. Then we have the following sum:

    S=d(1,1)+d(1,2)+...+d(1,y)+d(2,1)+d(2,2)+...+d(2,y)+...+d(x,1)+...+d(x,y).

Obviuosly d(i,j)=d(j,i) and d(i-1,j-1)=d(i,j). We can assume that x<=y and then:

 
    S=d(1,1)+d(1,2)+...+d(1,y)+d(1,2)+d(1,1)+d(1,2)+..+d(1,y-1)+...+d(1,x)+d(1,x-1)+...+d(1,y-x+1).

Let f(n) be the sum d(1,2)+...+d(1,n). Then

    S=f(y)+f(1)+d(2,2)+f(y-1)+f(2)+d(3,3)+f(y-2)+...+f(x-1)+d(x,x)+f(y-x+1).

s = sum {f[x] + w + f[y-x+1]} {1<=x<=X, w = d[x,x]}

Code

 class Pillars
    {

        public double getExpectedLength(int w, int x, int y)
        {
            double result = 0;
            if (y < x)
            {
                int tmp = y;
                y = x;
                x = tmp;
            }
            int delta = y - x;
            for (int i = 0; i <= delta; i++)
            {
                double z = 1.0 * x;
                result += z * System.Math.Sqrt( 1.0 *w * w + 1.0 * i * i);
            }

            for (int i = delta + 1; i < y; i++)
            {
                double z = 1.0 * (y - i);
                result += z * System.Math.Sqrt(1.0 * w * w + 1.0 * i * i);
            }

            for (int i = 1; i < x; i++)
            {
                double z = 1.0 * (x - i);
                result += z * System.Math.Sqrt(1.0 * w * w + 1.0 * i * i);
            }
            return result/x/y;
        }

        public double getExpectedLength2(int w, int x, int y)
        {
            double[] f = new double[100001];
            int N = System.Math.Max(x, y);
            f[1] = 0;
            for (int i = 2; i <= N; i++)
            {
                double d = distance(w, i - 1);
                f[i] = (f[i - 1] + d);
            }
            double sum = 0;
            for (int i = 1; i <= x; i++)
            {
                sum += f[i] + w + f[y - i + 1];
            }

            return sum / x / y;
        }


        private static double distance(int w, int d)
        {
            double x = 1.0 * w * w + 1.0 * d * d;
            return System.Math.Sqrt(x);
        }
    }