ＧＡＲＣＨ(一)

最新推荐文章于 2023-07-12 14:34:14 发布

牛哥骑驴看马

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分类专栏： R 经验

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原来所研究模型本质上都是均值模型,因为假设了方差齐性；

此前,都是研究ARIMA模型, 均可以 $AR(\infty)$ ,那么其条件方差 $E(Y_t|Y_{t-1},Y_{t-2},...)$ ,均是白噪音,具有条件方差不变性；

然而,实际情况却非如此,此正式GARCH模型所研究的问题；

假设rt是0均值序列, ARCH(1)模型可以表示为, $r_t=\sigma_{t|t-1}\varepsilon_t$ ,

容易得到 $E(r_t^2|r_{j-1})=E(\sigma_{t|t-1}^2\varepsilon_t^2|r_{j-1},j=1,2,...)=\sigma_{t|t-1}^2E(\varepsilon_t^2|r_{j-1},j=1,2,...)=\sigma_{t|t-1}^2$

所以,更进一步地(是这个逻辑吗?)

$\sigma_{t|t-1}^2=\omega+\alpha r_{t|t-1}^2$

令

$\eta_t=r_t^2-\sigma_{t|t-1}^2$

代入上式

$r_t^2=\omega + \alpha r_{t-1}^2 + \eta_t$

显然,这是一个AR(1)模型,那么

平稳解条件是

$0 \leq \alpha < 1$

将ARCH(1) 模型推广到GARCH(p,q)模型

$\sigma_{t|t-1}^2=\omega + \beta_1 \sigma_{t-1|t-2}^2 + \beta_2 \sigma_{t-2|t-3}^2 + ... + \beta_p \sigma_{t-p|t-p-1}^2 + \alpha_1 r_{t-1}^2 + \alpha_2 r_{t-2}^2 + ... + \alpha_q r_{t-q}^2$

易证: 平稳条件是

$\sum_{i=1}^{max(p,q)}(\alpha_i + \beta_i)<1$

类似于,ARCH(1)模型,ＧＡＲＣＨ模型可以转化为更一般的ARMA模型

令

$\sigma_{t|t-1}^2 = r_t^2 - \eta_t$

那么,

$\sigma_{t|t-1}^2=\omega + \sum_{i=0}^{max(p,q)}(\theta_i + \beta_i)r_{t-i}^2 - \sum_{j=0}^p \beta_j \eta_t-j$

其中, $\theta_i=0, i>p; \beta_i=0, i>q;$

可以看出,这个过程是一个 $ARMA(max(p,q),p)$ 过程；

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