线性代数同济第六版笔记：1-行列式

2 全排列和对换

一、排列及其逆序数

1. 标准次序：例如n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序。
2. 逆序数：当某一对元素的先后次序与标准次序不同时，就说它构成1个逆序。一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。
3. 奇排列：逆序数为奇数的排列叫做奇排列。
4. 偶排列：逆序数为偶数的排列叫做偶排列。

二、对换

1. 对换：在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。
2. 相邻对换：将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。
3. 定理1：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.
4. 推论：奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数.

3 n阶行列式的定义

1. 主对角线以下（上）的元素都为0 的行列式叫做上（下）三角形行列式。
2. 主对角线以下和以上的元素都为0 的行列式叫做对角行列式。

4 行列式的性质

1. 性质1：行列式与它的转置行列式相等.
2. 性质2：对换行列式的两行（列），行列式变号.
3. 推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零.
4. 性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式.（记作$r_i ×k$（或$c_i×k$））.
5. 推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.（记作$r_i÷k （或c_i÷k）$）.
6. 性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零.

7. 性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第i 行的元素都是两数之和：
   

   $$D= \left( \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1}+a^`_{i1} &a_{i2}+a^`_{i2} &\cdots & a_{in}+a^`_{in}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\ \end{array} \right)$$
   则D等于下列2个行列士只和：
   $D= \left( \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} &a_{i2}&\cdots & a_{in}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a^`_{i1} &a^`_{i2} &\cdots & a^`_{in}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\ \end{array} \right)$

8. 性质6：把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对
   应的元素上去，行列式不变.

5 行列式按行（列）展开

1. 余子式：在n 阶行列式中，把（i，j）元$a_{ij}$所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做（i，j）元$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$。
2. 代数余子式：$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$，$A_{ij}$叫做（i，j）元$a_{ij}$的代数余子式.
3. 引理：一个n 阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）元$a_{ij}$外都为零，那么这行列式等于$a_{ij}$与它的代数余子式的乘积，即 $$D=a_{ij}A_{ij}$$

4. 定理2：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

   $$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in} (i=1,2,\cdots,n)$$
   或 $$D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj} (j=1,2,\cdots,n)$$
   这个定理叫做行列式按行（列）展开法则。

5. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式
   乘积之和等于零.即

   $$a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=0,i\not=j$$
   或 $$a_{1i}A_{j1}+a_{2i}A_{2j}+\cdots+a_{ni}A_{nj}=0,i\not=j$$

6. 综合定理2及其推论，有关于代数余子式的重要性质：

   $$\sum_{k=1}^na_{ki}A_{kj}=\begin{cases} D，当i=j,\\ 0，当i\not=j \end{cases}$$
   或 $$\sum_{k=1}^na_{ik}A_{jk}=\begin{cases} D，当i=j,\\ 0，当i\not=j \end{cases}$$