数塔

数塔

问题描述：

在讲述DP算法的时候，一个经典的例子就是数塔问题，它是这样描述的：
有如下所示的数塔，要求从顶层走到底层，若每一步只能走到相邻的结点，则经过的结点的数字之和最大是多少？

已经告诉你了，这是个DP的题目，你能AC吗?

input：
输入数据首先包括一个整数C,表示测试实例的个数，每个测试实例的第一行是一个整数N(1 <= N <= 100)，表示数塔的高度，接下来用N行数字表示数塔，其中第i行有个i个整数，且所有的整数均在区间[0,99]内。

output：
对于每个测试实例，输出可能得到的最大和，每个实例的输出占一行。

Sample Input：
1
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

解题思路：
假设数据按Sample Input中所给数据排列。
则到达当前点的结点之和最大值（设为cmax）只和与它位于同一列的上一个点（假设为a）结点之和最大值（设为amax）以及a点左侧点的结点之和最大值（设为almax）有关。
很容易得出递推公式。
cmax = max（amax，almax）+当前点的值

具体细节见代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

// 到某数的最大值，

int main()
{
    int n;
    cin >> n;   // 样例组数
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int m;
        cin >> m;    // 每个样例行数
        vector<vector<int> > a;   // 保存原始数据
        vector<vector<int> > c;   // 到某点结点之和的最大值

        for (int i = 1; i <= m; i++)
        {
            vector<int> b;
            vector<int> e;
            int d;
            for (int j = 0; j < i; j++)
            {
                cin >> d;
                b.push_back(d);
                e.push_back(0);    
            }
            c.push_back(e);     // c初始化为全0
            a.push_back(b);     // 输入原始数据
        }
        c[0][0] = a[0][0];    // 第一个点结点之和的最大值
        int max1 = a[0][0];   // 所有节点之和的最大值的初始值
        for (int i = 1; i < m; i++)
            for (int j = 0; j <= i; j++)
            {
                if (j == 0)    // 某行最左边的数据
                    c[i][j] = c[i - 1][j] + a[i][j];
                else if (j == i)  // 某行最右边数据
                    c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + a[i][j];
                else    // 递推方程
                    c[i][j] = max(c[i - 1][j], c[i - 1][j - 1]) + a[i][j];
                if (c[i][j] > max1)  
                    max1 = c[i][j];  // 更新节点之和最大值
            }
        cout << max1 << endl;
    }
    return 0;
}