SGU141 Jumping Joe

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#SGU #构造 #数论

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本文详细解析了SGU141 Jumping Joe问题的解决方法，介绍了一种通过数学方法求解特定跳跃路径的问题，并提供了一个有效的算法实现。问题的核心在于寻找特定条件下能够达到目标位置的跳跃次数和方式。

SGU141 Jumping Joe

题目大意

有只青蛙在x轴原点，要刚好K步跳到坐标为P的点上
每次可以向左或向右跳x1或x2的距离，构造跳的方式，不存在则输出“NO”

算法思路

对于同样的跳跃距离，向左跳与向右跳互相抵消，因此每种跳跃只会朝一个方向
假设跳了a次x1，跳了b次x2，正值向右，负值向左
则该问题为求解方程 a * x1 + b * x2 = P，考察参数t满足 | t | <= | P | + 1 的所有解
求出a、b后，考察a、b绝对值之和与K是否相差为偶数，是的话剩下的步数，可以一左一右跳完

时间复杂度: $O(P)$

代码

/**
 * Copyright © 2015 Authors. All rights reserved.
 * 
 * FileName: 141.cpp
 * Author: Beiyu Li <sysulby@gmail.com>
 * Date: 2015-06-17
 */
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define rep(i,n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
#define For(i,s,t) for (int i = (s); i <= (t); ++i)
#define foreach(i,c) for (__typeof(c.begin()) i = c.begin(); i != c.end(); ++i)

typedef long long LL;
typedef pair<int, int> Pii;

const int inf = 0x3f3f3f3f;
const LL infLL = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;

void gcd(LL a, LL b, LL &g, LL &x0, LL &y0)
{
        if (!b) g = a, x0 = 1, y0 = 0;
        else gcd(b, a % b, g, y0, x0), y0 -= x0 * (a / b);
}

LL a, b, c, k;

bool calc(LL x, LL y)
{
        LL t = abs(x) + abs(y);
        if (t > k || ((k - t) & 1)) return false;
        puts("YES");
        k = (k - t) / 2;
        if (x >= 0) printf("%lld %lld ", x + k, k);
        else printf("%lld %lld ", k, -x + k);
        if (y >= 0) printf("%lld %lld\n", y, 0LL);
        else printf("%lld %lld\n", 0LL, -y);
        return true;
}

bool solve()
{
        LL g, x0, y0;
        gcd(a, b, g, x0, y0);
        if (c % g) return false;
        a /= g, b /= g, c /= g;
        For(t,-abs(c)-1,abs(c)+1)
                if (calc(x0 * c + b * t, y0 * c - a * t)) return true;
        return false;
}

int main()
{
        scanf("%lld%lld%lld%lld", &a, &b, &c, &k);
        if (!solve()) puts("NO");

        return 0;
}