01背包问题

参考https://www.kancloud.cn/kancloud/pack/70125

问题描述：

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

思路分析：

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
参考：https://blog.youkuaiyun.com/qq_22222499/article/details/71017501

• 也就是说，用f[i][j]表示i种物品，重量为j所取得的价值。
• 对于第i种物品，如果第i种物品重量大于j，就证明第i种物品肯定不能取，这时的f[i][j]=f[i-1][j];
• 如果第i种物品重量小于j，那就会出现两种情况，采用i的话，物品价值f[i][j]=采用前面的i-1种物品，所占用的重量为j-i.getweight,所产生的价值+第i 种物品的价值。如果不采用i，价值为f[i-1][j]。换成数学表达式就是f[i][j]=Math.max(f[i-1][j-weight]+value,f[i-1][j]);
• 比如当i=5,j=10时，f[5][10]就代表了所取得的最大价值。到这里我们就完成了任务的一半，接下为我们要寻找到底哪些物品放入了背包，从前面的表达式我们可以发现，当f[i][j]=f[i-1][j-weight]时，这时为i的物品就会放入背包，所以我们从结果，开始往回走，遇到这种情况，就说明有物品放入背包，然后物品数减1，重量减去为i的重量，继续，最后就能求出哪些物品放入背包了。

1、二维数组求解代码如下：

package packageProblem;

public class Solution1 {
    public static void main(String[] args){
        int allweight=9;
        int num=8;   //物品
        bao[] baos=new bao[num+1];
        baos[1]=new bao(2, 13);
        baos[2]=new bao(1, 10);
        baos[3]=new bao(3, 24);
        baos[4]=new bao(2, 15);
        baos[5]=new bao(4, 28);
        baos[6]=new bao(5, 33);
        baos[7]=new bao(3, 20);
        baos[8]=new bao(1, 8);
        int[][] f=new int[num+1][allweight+1];
        for(int i=0;i<=num;i++){
            for(int j=0;j<=allweight;j++){
                if(i==0||j==0)
                    f[i][j]=0;
                else{
                    if(j<baos[i].weight){
                        f[i][j]=f[i-1][j];
                    }else{
                        int value=baos[i].value;
                        int weight=baos[i].weight;
                        f[i][j]=Math.max(f[i-1][j-weight]+value,f[i-1][j]);
                    }
                }
                System.out.print("f"+"["+i+"]"+"["+j+"]="+f[i][j]+" ");
            }
            System.out.println();
        }
        //输出装入包中的物品
        int m=num;
        int n=allweight;
        int all=f[m][n];
        while(all>=0){
            if(m>0&&f[m][n]==f[m-1][n]){
                m=m-1;
            }else{
                if(m==0){
                    return;
                }else{
                    System.out.println(m+":"+baos[m].weight+","+baos[m].value+" in bag.");
                    n=n-baos[m].weight;
                    all=all-baos[m].value;
                    m=m-1;
                }
            }
        }
    }
}

以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V)。
先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下：

for i=1..N

    for v=V..0

        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}，因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。

我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。

如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。

如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。

为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。

2、一维数组法（无须装满）

//baos:物品，num:物品数量，allweight:背包可以装的最大重量
public static void noFullSolve(bao[] baos,int num,int allweight){
        int[] f=new int[allweight+1];
        for(int i=1;i<num+1;i++){
            for(int v=allweight;v>=baos[i].weight;v--){
                f[v]= Math.max(f[v],f[v-baos[i].weight]+baos[i].value);
                System.out.print(f[v]+" ");
            }
            System.out.println();
        }
        System.out.println("最大价值："+f[allweight]);

    }

3、一维数组法（必须装满）

public static void fullSolve(bao[] baos,int num,int allweight){
        int[] f=new int[allweight+1];
        for (int i=1;i<=allweight;i++){
            f[i]=Integer.MIN_VALUE;
        }
        for(int i=1;i<=num;i++){
            for(int v=allweight;v>=baos[i].weight;v--){
                f[v]=Math.max(f[v],f[v-baos[i].weight]+baos[i].value);
                System.out.print(f[v]+" ");
            }
            System.out.println();
        }
        System.out.println("装满背包最大值："+f[allweight]);
    }