<think>我们被要求回答关于最长不下降子序列（Longest Non-decreasing Subsequence, LNDS）的动态规划（
DP）和
记忆化搜索（DFS）实现方法。根据引用内容，我们可以总结出以下信息：
1. 动态规划是解决最长不下降子序列问题的经典方法，通常有两种实现方式：自底向上的递推（
DP）和自顶向下的
记忆化搜索（DFS
+Memoization）。
2. 引用[3]提到了最长不下降子序列的优化解法（$O
(N \log N
)$）以及如何输出序列，但用户问题主要关注动态规划和
记忆化搜索，因此我们重点放在这两种方法上，优化方法可以简要提及。
3. 引用[4]和[5]分别给出了最长上升子序列（LIS）和最长下降子序列（LDS）的动态规划代码，我们可以参考其思路，但注意问题是最长不下降（即非严格递增，允许相等）。
### 问题分析
最长不下降子序列问题：给定一个序列，找到最长的子序列，使得这个子序列非严格递增（即对于子序列中的任意两个相邻元素，有$a_i \leq a_j$，其中$i<j$）。
### 方法一：动态规划（递推）
设$
dp[i]$表示以第$i$个元素结尾的最长不下降子序列的长度。
状态转移方程：
$$
dp[i] = \max_{\substack{1 \leq j < i \\ a[j] \leq a[i]}} \{
dp[j] \}
+ 1 $$
如果不存在这样的$j$，则$
dp[i]=1$（即自身作为一个子序列）。
最后，整个序列的最长不下降子序列长度为$\max_{1\leq i \leq n}
dp[i]$。
时间复杂度：$O
(n^2
)$，因为对于每个$i$，需要遍历$i$之前的所有元素。
### 方法二：
记忆化搜索（DFS
+Memoization）
记忆化搜索是动态规划的一种自顶向下的实现方式。我们使用递归函数`dfs
(i
)`来计算以第$i$个元素结尾的最长不下降子序列的长度。为了避免重复计算，使用一个数组`memo`来保存已经计算过的结果。
递归函数定义：
- `dfs
(i
)`：返回以第`i`个元素结尾的最长不下降子序列的长度。
递归过程：
- 对于每个`i`，遍历`j`从`0`到`i-1`，如果`a[j] <= a[i]`，则`dfs
(i
) = max
(dfs
(i
), dfs
(j
)+1
)`。
- 如果没有任何`j`满足条件，则`dfs
(i
)=1`。
同时，使用`memo`数组记录已经计算过的`dfs
(i
)`，避免重复递归。
### 代码实现
下面分别给出动态规划（递推）和
记忆化搜索的代码实现（使用C
++，因为引用中的代码是C
++）。
#### 动态规划（递推）代码
```cpp
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main
() {
int n;
cin >> n;
int a[n],
dp[n];
for
(int i = 0; i < n; i
++) {
cin >> a[i];
}
int maxLen = 0;
for
(int i = 0; i < n; i
++) {
dp[i] = 1; // 初始化，至少包含自己
for
(int j = 0; j < i; j
++) {
if
(a[j] <= a[i]
) { // 不下降：允许相等
dp[i] = max
(dp[i],
dp[j]
+ 1
);
}
}
maxLen = max
(maxLen,
dp[i]
);
}
cout << maxLen << endl;
return 0;
}
```
####
记忆化搜索（DFS
+Memoization）代码
```cpp
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAX_N = 1000;
int a[MAX_N];
int memo[MAX_N]; // memo[i]存储以第i个元素结尾的最长不下降子序列长度，初始为-1表示未计算
int dfs
(int i
) {
if
(memo[i] != -1
)
return memo[i];
int res = 1; // 至少包含自身
for
(int j = 0; j < i; j
++) {
if
(a[j] <= a[i]
) {
res = max
(res, dfs
(j
) + 1
);
}
}
memo[i] = res;
return res;
}
int main
() {
int n;
cin >> n;
for
(int i = 0; i < n; i
++) {
cin >> a[i];
}
memset
(memo, -1, sizeof
(memo
));
int maxLen = 0;
for
(int i = 0; i < n; i
++) {
maxLen = max
(maxLen, dfs
(i
));
}
cout << maxLen << endl;
return 0;
}
```
### 优化方法（$O
(N \log N
)$）
引用[3]提到了利用二分查找和单调性优化到$O
(N \log N
)$的方法。我们维护一个数组`d`，其中`d[i]`表示长度为`i`的最长不下降子序列的最后一个元素的最小可能值（注意，这里是最小可能值，这样后续可以扩展更多元素）。由于`d`数组是单调不减的，我们可以使用二分查找来更新。
具体步骤：
1. 初始化一个数组`d`，长度为0（表示没有元素）。
2. 遍历原数组每个元素`a[i]`：
- 在`d`数组中查找第一个大于`a[i]`的位置（如果是严格上升则用`lower_bound`，但这里不下降可以用`upper_bound`来允许相等？注意：不下降序列允许相等，所以应该用`upper_bound`？实际上，我们通常用`lower_bound`来查找第一个大于等于`a[i]`的位置，但为了维护不下降，我们允许相等，所以这里使用`upper_bound`来查找第一个大于`a[i]`的位置，然后替换该位置上的值。但具体实现时，对于不下降序列，我们通常使用非递减的`d`数组，并利用`lower_bound`找到第一个大于等于`a[i]`的位置，然后替换。但注意，这样得到的是最长不下降子序列，但长度正确，序列不一定实际存在，但长度正确。
- 更准确地说，我们维护的`d`数组是单调不减的。对于当前元素`a[i]`，我们使用`upper_bound`查找第一个大于`a[i]`的位置（因为允许相等，所以相等时我们可以放在相同长度的位置，但为了尽可能延长序列，我们希望`d`数组中的值尽可能小，所以当遇到相等的值时，我们也可以替换，因为不会影响后面的扩展）。实际上，标准做法是：
如果`a[i]`大于等于`d`的最后一个元素，则加入`d`（长度
+1）；
否则，在`d`中找到第一个大于`a[i]`的位置（用`upper_bound`），然后替换为`a[i]`。
这样，数组`d`的长度就是最长不下降子序列的长度。
代码示例：
```cpp
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
int main
() {
int n;
cin >> n;
vector<int> a
(n
);
for
(int i = 0; i < n; i
++) {
cin >> a[i];
}
vector<int> d; // d 将存储最长不下降子序列的最后一个元素的最小可能值
for
(int i = 0; i < n; i
++) {
// 找到第一个大于 a[i] 的位置
auto it = upper_bound
(d.begin
(), d.end
(), a[i]
);
if
(it == d.end
()) {
// 如果没找到大于a[i]的元素，说明a[i]可以接在d后面（因为d中所有元素都<=a[i]）
d.push_back
(a[i]
);
} else {
// 替换第一个大于a[i]的位置上的值为a[i]
*it = a[i];
}
}
cout << d.size
() << endl;
return 0;
}
```
注意：这里使用`upper_bound`（找第一个大于`a[i]`的位置）是因为我们允许相等，所以当有相等元素时，我们希望替换掉大于`a[i]`的第一个元素，这样可以保证`d`数组仍然是非递减的。如果使用`lower_bound`（找第一个大于等于`a[i]`的位置），那么当遇到相等元素时，我们就会替换掉相等的元素，这样也是可以的，但是替换相等元素没有意义（因为相等元素不影响长度），所以两种方法都可以，但通常使用`upper_bound`。
但是，对于最长不下降子序列，更常见的做法是使用`lower_bound`来维护一个非递减的序列，但注意替换条件。实际上，我们也可以这样：
```cpp
auto it = lower_bound
(d.begin
(), d.end
(), a[i]
+1
); // 第一个大于a[i]的位置
```
或者直接使用`upper_bound
(d.begin
(), d.end
(), a[i]
)`，因为`upper_bound`就是找大于`a[i]`的第一个位置。
### 输出序列
引用[3]提到了如何输出序列。在$O
(N^2
)$的
DP方法中，我们可以记录前驱节点。具体做法：
- 在计算`
dp[i]`时，记录使`
dp[i]`取得最大值的`j`（即前驱节点）。
- 最后，从整个序列中`
dp[i]`最大的位置开始，回溯前驱节点，即可得到序列。
在$O
(N \log N
)$方法中，输出序列较为复杂，但引用[3]给出了一种方法：在更新`d`数组的同时，记录每个位置对应的原数组中的元素，并记录每个元素的前驱。但通常，我们只要求长度，所以输出序列不是必须的。
### 总结
- 动态规划（递推）和
记忆化搜索都可以解决最长不下降子序列问题，时间复杂度为$O
(n^2
)$。
- 优化方法使用二分查找和贪心
思想，将时间复杂度降为$O
(n \log n
)$，但只用于求长度，序列输出较复杂。
-
记忆化搜索本质上是动态规划的自顶向下实现，避免了手动设计递推顺序，但会有递归开销。
### 相关问题
根据用户的问题，我们生成了以下相关问题：
1. 最长不下降子序列问题中，动态规划方法和
记忆化搜索方法在时间复杂度和空间复杂度上有何异同？
2. 如何输出最长不下降子序列的具体元素（而不仅仅是长度）？
3. 最长不下降子序列的$O
(n \log n
)$算法是如何利用二分查找和贪心
思想的？
4. 动态规划求解最长不下降子序列时，如何优化空间复杂度？
5. 在
记忆化搜索中，如何避免递归深度过大导致的栈溢出问题？</think>### 最长不下降子序列的动态规划与
记忆化搜索实现
#### 一、问题定义
给定序列 $\{a_1, a_2, \dots, a_n\}$，求最长子序列长度，满足 $\forall i<j,\ a_i \leq a_j$（非严格递增）。
#### 二、动态规划（递推）实现
**状态定义**：
$
dp[i]$ 表示以 $a_i$ 结尾的最长不下降子序列长度。
**状态转移方程**：
$$
dp[i] = \max_{\substack{1 \leq j < i \\ a_j \leq a_i}} \{
dp[j] \}
+ 1 $$
若不存在满足条件的 $j$，则 $
dp[i] = 1$。
**最终结果**：
$$ \max_{1 \leq i \leq n}
dp[i] $$
**代码实现**：
```cpp
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main
() {
int n;
cin >> n;
int a[n],
dp[n];
for
(int i = 0; i < n; i
++)
cin >> a[i];
int maxLen = 0;
for
(int i = 0; i < n; i
++) {
dp[i] = 1; // 初始化（至少包含自身）
for
(int j = 0; j < i; j
++) {
if
(a[j] <= a[i]
) { // 允许相等
dp[i] = max
(dp[i],
dp[j]
+ 1
);
}
}
maxLen = max
(maxLen,
dp[i]
);
}
cout << maxLen << endl;
return 0;
}
```
**时间复杂度**：$O
(n^2
)$，**空间复杂度**：$O
(n
)$[^1][^5]。
---
#### 三、
记忆化搜索（DFS
+ Memoization）实现
**核心
思想**：
- 自顶向下递归，通过`memo`数组避免重复计算。
- `dfs
(i
)` 返回以 $a_i$ 结尾的最长长度。
**递归方程**：
$$ dfs
(i
) = \max_{\substack{0 \leq j < i \\ a_j \leq a_i}} \{ dfs
(j
) + 1 \} $$
**代码实现**：
```cpp
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAX_N = 1010;
int a[MAX_N], memo[MAX_N]; // memo[i] 缓存dfs
(i
)的结果
int dfs
(int i
) {
if
(memo[i] != -1
)
return memo[i]; // 已计算则直接返回
int res = 1; // 最小长度为1（自身）
for
(int j = 0; j < i; j
++) {
if
(a[j] <= a[i]
) {
res = max
(res, dfs
(j
) + 1
); // 递归子问题
}
}
memo[i] = res; // 记录结果
return res;
}
int main
() {
int n;
cin >> n;
for
(int i = 0; i < n; i
++)
cin >> a[i];
memset
(memo, -1, sizeof
(memo
)); // 初始化为未计算
int maxLen = 0;
for
(int i = 0; i < n; i
++)
maxLen = max
(maxLen, dfs
(i
)); // 对每个位置调用dfs
cout << maxLen << endl;
return 0;
}
```
**时间复杂度**：$O
(n^2
)$（每个状态计算一次），**空间复杂度**：$O
(n
)$[^1][^2][^4]。
---
#### 四、两种方法对比
| **特性** | 动态规划（递推） |
记忆化搜索 |
|------------------|------------------------|----------------------|
| **实现方向** | 自底向上（迭代） | 自顶向下（递归） |
| **计算顺序** | 显式顺序（从前往后） | 隐式顺序（递归栈） |
| **代码复杂度** | 较低 | 较高（需处理递归） |
| **适用场景** | 依赖关系简单 | 依赖关系复杂 |
| **空间优化** | 可滚动数组优化 | 难优化 |
> **关键区别**：动态规划显式定义计算顺序，
记忆化搜索通过递归隐式求解，本质都是对状态空间的遍历[^1][^2]。
---
#### 五、优化方法（$O
(n \log n
)$）
通过维护单调数组
+ 二分查找：
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main
() {
int n;
cin >> n;
vector<int> a
(n
), d; // d: 存储长度为i的子序列的最小末尾值
for
(int i = 0; i < n; i
++) cin >> a[i];
for
(int i = 0; i < n; i
++) {
// 找到d中第一个 > a[i] 的位置
auto it = upper_bound
(d.begin
(), d.end
(), a[i]
);
if
(it == d.end
())
d.push_back
(a[i]
); // 可扩展序列长度
else
*it = a[i]; // 优化d数组的值
}
cout << d.size
() << endl; // 输出最长长度
return 0;
}
```
**原理**：`d` 数组始终保持有序，通过二分查找快速定位插入位置[^3]。
---
### 相关问题
1. **动态规划与分治法的本质区别是什么？**
> 动态规划要求子问题重叠且有最优子结构，通过
记忆化避免重复计算；分治法子问题独立无重叠[^2]。
2. **如何输出最长不下降子序列的具体元素（而不仅是长度）？**
> 需在
DP过程中记录前驱节点，最终回溯输出完整序列[^3]。
3. **$O
(n \log n
)$ 算法为何能正确求解？其数学依据是什么？**
> 依赖于贪心
思想：维护的 `d` 数组具有单调性，替换操作保证后续可扩展性[^3]。
4. **
记忆化搜索在哪些场景下优于递推动态规划？**
> 当状态转移依赖复杂拓扑序（如树形
DP）时，
记忆化更易实现[^1][^4]。
5. **如何将最长不下降子序列问题扩展为三维（如时间序列分析）？**
> 需增加状态维度（如 $
dp[i][j]$），但时间复杂度升至 $O
(n^2
)$ 或更高。
[^1]: 动态规划入门思路: dfs暴力 -->
记忆化搜索 --> 递推
DP。
[^2]: 动态规划通过
记忆化存储子问题解，减少重复计算。
[^3]: 利用单调性二分查找可将复杂度优化至 $O
(n \log n
)$。
[^4]:
记忆化搜索本质是递归形式的动态规划。
[^5]: 动态规划通过两层循环实现状态转移。
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