一个有趣的题目

给个数列A,问是否存在Ai<Ak<Aj(s.t.i<j<k).
这题是我在面试的时候碰到的题目,当时没想到O(n)解,所以当时假设没有O(n)解。今天早上上班的路上,又想了一下这道题。发现确实有O(n)解,特地写了这个题解。
首先,由于i位于最左边,所以首先可以处理leftj=min(A1,A2,...,Aj1)leftj<Aj。显然对于Aj需要求一个Ak>leftj && Ak<Aj
其次,需要强调一点,left数组是一个单调不增的数列。于是考虑从右往左扫描数列,维护一个单调递减栈,维护时,对于当前放入栈的Aj, 将栈顶小于Aj的数弹出。于是在维护单调栈的同时,判断栈顶元素是否是满足的Ak即可。即stack.top()>leftj && stack.top()<Aj
这种做法确实是一个必要解,现在证明充分性。
证明:现在证明,对于Aj来说Ak(k>j)在放入栈中时,不会因为将在栈顶元素s(s>leftj && s<Aj)弹出,而导致无解。
1.假如Aj>Ak,显然如果栈顶元素s弹出,Ak入栈,那么对于Aj来说,Ak是一个满足解,且对于Aj来说更优。
2.假如Aj<=Ak,显然,如果存在栈顶元素s。由于j<k,那么leftj>=leftk,显然会有leftk<=leftj<s<Aj<=Ak.于是s>leftk && s<Ak,于是s对于Ak是一个满足解。
而如果s<=leftk,则显然可以弹出。s>=Ak, 显然可以直接将Ak放入栈顶。
所以得证。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

bool solve(const vector<int>& A) {
  vector<int> left(A.size());
  left[0] = 0x3f3f3f3f;
  for (int i = 1; i < A.size(); ++i) {
    left[i] = min(left[i - 1], A[i - 1]);
  }
  stack<int> S;
  for (int i = A.size() - 1; --i) {
    if (S.empty()) {
      S.push(A[i]);
    } else {
      if (left[i] < A[i] && left[i] < S.top() && S.top() > A[i]) {
        return true;
      } else {
        while (!S.empty() && S.top() < A[i]) {
          S.pop();
        }
        S.push(A[i]);
      }
    }
  }
  return false;
}
### 有趣的跳跃问题概述 在C语言编程中,“有趣的跳跃”(Jolly Jumping)是一个经典的编程问题。该问题要求判断一个整数序列是否满足“跳跃序列”的条件。具体来说,给定一个长度为 $ n $ 的整数序列 $ a_1, a_2, \dots, a_n $,其相邻元素之间的绝对差值的集合必须包含从 $ 1 $ 到 $ n-1 $ 的所有整数,并且不能有重复的差值。 例如,序列 `1 4 2 3` 是一个 Jolly 跳跃序列,因为其相邻差值分别为 `3`, `2`, `1`,涵盖了从 $ 1 $ 到 $ 3 $ 的所有整数[^1]。 ### 编程题目描述 **题目:** 编写一个程序,输入一个整数序列,判断它是否是“Jolly 跳跃”序列。如果是,则输出 `Jolly`,否则输出 `Not jolly`。 **输入格式:** 第一行输入一个整数 $ n $ 表示序列的长度,随后输入 $ n $ 个整数。 **输出格式:** 输出 `Jolly` 或 `Not jolly`。 ### 示例代码解析 以下是一个完整的 C 语言实现: ```c #include <stdio.h> #include <math.h> #include <string.h> int main() { int n, i, o = 0; int a[1000], b[1000]; scanf("%d", &n); if (n == 1) { printf("Jolly"); return 0; } for (i = 0; i < n; i++) { scanf("%d", &a[i]); } for (i = 0; i < n - 1; i++) { b[i] = abs(a[i] - a[i + 1]); } int flag[1000] = {0}; for (i = 0; i < n - 1; i++) { if (b[i] >= 1 && b[i] <= n - 1) { flag[b[i]]++; } else { break; } } for (i = 1; i <= n - 1; i++) { if (flag[i] != 1) { printf("Not jolly"); return 0; } } printf("Jolly"); return 0; } ``` #### 代码说明: 1. **输入处理:** - 首先读取序列长度 $ n $。 - 然后读取 $ n $ 个整数并存储到数组 `a` 中。 2. **计算相邻差值:** - 使用 `abs()` 函数计算相邻元素的绝对差值,并将结果存储在数组 `b` 中。 3. **验证差值范围与唯一性:** - 创建一个标记数组 `flag`,用于记录每个差值出现的次数。 - 如果某个差值超出 $ [1, n-1] $ 范围,则直接判定为非 Jolly 序列。 - 检查每个差值是否恰好出现一次。 4. **输出结果:** - 如果所有差值都满足条件,则输出 `Jolly`;否则输出 `Not jolly`。 ### 测试用例 | 输入 | 输出 | |------|------| | `6 11 15 14 13 12 10` | `Jolly` | | `4 1 2 4 7` | `Not jolly` | | `1 100` | `Jolly` | ### 总结 “有趣的跳跃”问题不仅考察了对数组、循环和条件判断的掌握,还涉及对数据唯一性和范围的检查。上述代码通过合理使用数组和逻辑判断,能够高效地解决此类问题。
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