hdu 3117 Fibonacci Numbers

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本文介绍了一种高效计算斐波那契数的方法，特别是针对非常大的数值情况。通过使用矩阵快速幂运算优化计算过程，并结合斐波那契数的封闭形式公式来计算大数时的前四位和后四位。

Fibonacci Numbers

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Problem Description

The Fibonacci sequence is the sequence of numbers such that every element is equal to the sum of the two previous elements, except for the first two elements f0 and f1 which are respectively zero and one.

What is the numerical value of the nth Fibonacci number?

Input

For each test case, a line will contain an integer i between 0 and 10⁸ inclusively, for which you must compute the ith Fibonacci number fi. Fibonacci numbers get large pretty quickly, so whenever the answer has more than 8 digits, output only the first and last 4 digits of the answer, separating the two parts with an ellipsis (“...”).

There is no special way to denote the end of the of the input, simply stop when the standard input terminates (after the EOF).

Sample Input

Sample Output

0
1
1
2
3
5
9227465
14930352
24157817
39088169
63245986
1023...4155
1061...7723
1716...7565

题解及代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define s_5 sqrt(5.0)
#define sl_5 (0.5+sqrt(5.0)/2.0)
#define sr_5 (0.5-sqrt(5.0)/2.0)
using namespace std;
int fibo[50];
void init()
{
    fibo[0]=0;
    fibo[1]=1;
    int i;
    for(i=2;i<=50;i++)
    {
       fibo[i]=fibo[i-1]+fibo[i-2];
       if(fibo[i]>=100000000)
       {
          break;
       }
    }
}

struct mat
{
    long long  t[2][2];
    void set()
    {
        memset(t,0,sizeof(t));
    }
}a,b;

mat multiple(mat a,mat b,int n,int p)
{
    int i,j,k;
    mat temp;
    temp.set();
    for(i=0;i<n;i++)
    for(j=0;j<n;j++)
    {
        if(a.t[i][j])
        for(k=0;k<n;k++)
            temp.t[i][k]=(temp.t[i][k]+a.t[i][j]*b.t[j][k])%p;
    }
    return temp;
}

mat quick_mod(mat b,int n,int p)
{
    mat t;
    t.t[0][0]=1;
    t.t[0][1]=0;
    t.t[1][0]=0;
    t.t[1][1]=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
        {
           t=multiple(t,b,2,p);
        }
        n>>=1;
        b=multiple(b,b,2,p);
    }
    return t;
}
void init1()
{
    b.t[0][0]=1;
    b.t[0][1]=1;
    b.t[1][0]=1;
    b.t[1][1]=0;
}


int main()
{
    int n;
    init();
    while(cin>>n)
    {
      if(n<40)
      {
          cout<<fibo[n]<<endl;
          continue;
      }
      double s=log10(1.0/s_5)+n*log10(sl_5);
      int len=(int)s+1;
      double t=s-len+4;
      cout<<(int)pow(10.0,t);

      init1();
      a=quick_mod(b,n,10000);
      printf("...%04d\n",a.t[1][0]);
    }
    return 0;
}
/*
一道比较简单的数学题，输出斐波那契数的前四位和后四位。
对于前40项，直接打表输出就可以了。
接下来我们讲一下大于40位的时候如何计算：

对于后四位，我们可以想到，我们进行滚动数组取余就能求得答案，
但是数据量有点大，这样可定会超时，所以只能使用矩阵快速幂来加速。

对于前四位，我们要使用到斐波那契数的封闭公式:
f[n]=1/sqrt(5)*{[0.5+sqrt(5)/2]^n-[0.5-sqrt(5)/2]^n};
由于n很大时，[0.5-sqrt(5)/2]^n很小，几乎可以忽略，又因为我们计算
的是前四位，所以不必管后面的精度，所以这一项可以省略。
f[n]=1/sqrt(5)*[0.5+sqrt(5)/2]^n;
我们假定t=f[n],k为其前四位，想要求t的前四位数k，我们可以使用科学
计数法来写一下t，t=k.xxxx……*10^(len-4);这里len指的是t的位数。
而计算一个数的位数可以使用log10(t)+1来计算得到。

那么知道了这些就很好计算了：首先我们先求出t的位数
len=log10(1/sqrt(5)*[0.5+sqrt(5)/2]^n);
化简一下：len=log10(1/sqrt(5))+n*log10(0.5+sqrt(5)/2);

对于t=k.xxxx……*10^(len-4);我们两边进行log10取对数，
得到log10(t)=log10(k.xxxx……)+len-4;
化简一下得到log10(k.xxxx……)=log10(t)-(len-4);
那么我们为了得到k.xxx……,我们可以求10^[log10(t)-(len-4)]就行了，
最后一项，对k取整。

*转载请注明出处，谢谢。
*/