6N±1素数筛选法

筛选法介绍:

      所有的数都能用6N+x的形式表示出来,很容易看出6N+26N+36N+4均不可能是素数,所以素数只能是形如6N±1的形式,此时只需要对6N±1的数进行判断是否是素数就行了。


筛选法的模版:

int prime[N];
bool isprime(int k)
{
    if(k==2) return true;
    if(k%2==0) return false;
    for(int i=3;i*i<=k;i+=2)
        if(k%i==0) return false;
    return true;
}

void doprime()
{
    int k=2;
    prime[0]=2;
    prime[1]=3;
    for(int i=1;k<=N-1;i++)
       {
            if(isprime(6*i-1)) prime[k++]=6*i-1;
            if(isprime(6*i+1)&&k<=N-1) prime[k++]=6*i+1;
       }
}


### 如何用 C++ 编写判断素数的程序 在 C++ 中,可以通过多种方来判断一个数是否为素数。以下是几种常见的实现方式: #### 方一:基本试除 这种方通过遍历从 `2` 到 `sqrt(n)` 的所有整数,检查是否存在能整除目标数的因子。 ```cpp #include <iostream> #include <cmath> bool isPrimeBasic(int n) { if (n <= 1) return false; for (int i = 2; i <= std::sqrt(n); ++i) { if (n % i == 0) return false; } return true; } int main() { int number; std::cin >> number; if (isPrimeBasic(number)) { std::cout << number << " 是素数" << std::endl; } else { std::cout << number << " 不是素数" << std::endl; } return 0; } ``` 此方的时间复杂度为 O(√n),适用于较小范围内的素数检测[^3]。 --- #### 方二:优化后的试除 该方利用了素数分布的特点——除了 `2` 和 `3` 外的所有素数都形如 `6k ± 1`(其中 k ≥ 1),从而减少不必要的计算量。 ```cpp #include <iostream> #include <cmath> bool isPrimeOptimized(int num) { if (num == 2 || num == 3) return true; if (num % 6 != 1 && num % 6 != 5) return false; for (int i = 5; i * i <= num; i += 6) { if (num % i == 0 || num % (i + 2) == 0) return false; } return true; } int main() { int number; std::cin >> number; if (isPrimeOptimized(number)) { std::cout << number << " 是素数" << std::endl; } else { std::cout << number << " 不是素数" << std::endl; } return 0; } ``` 这种算进一步减少了循环次数,在处理大数值时效率更高[^2]。 --- #### 方三:埃拉托斯特尼筛(Sieve of Eratosthenes) 当需要出某个区间 `[1, n]` 内的所有素数时,可以采用埃氏筛。它通过对已知素数的倍数标记合数的方式快速筛选出所有素数。 ```cpp #include <iostream> #include <vector> std::vector<int> sieveOfEratosthenes(int n) { std::vector<bool> isPrime(n + 1, true); isPrime[0] = isPrime[1] = false; for (int p = 2; p * p <= n; ++p) { if (isPrime[p]) { for (int multiple = p * p; multiple <= n; multiple += p) { isPrime[multiple] = false; } } } std::vector<int> primes; for (int i = 2; i <= n; ++i) { if (isPrime[i]) primes.push_back(i); } return primes; } int main() { int limit; std::cin >> limit; std::vector<int> primes = sieveOfEratosthenes(limit); std::cout << "小于等于 " << limit << " 的素数有:" << std::endl; for (const auto& prime : primes) { std::cout << prime << " "; } std::cout << std::endl; return 0; } ``` 埃氏筛适合批量求解素数问题,时间复杂度接近线性级别 \(O(n \log\log n)\)[^1]。 --- ### 总结 上述三种方分别针对单个数的判定以及区间的批量判定提供了不同的解决方案。具体选择哪种取决于实际需求和性能考量。
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