AIMD吞吐量公式的推导

 If the sender receive positive acknowledgement,then increase the congestion window according to the following:
$$w=w+I\text{\hspace{1em}(1)}$$
For the negative feedback,decreasing the congestion window:
$$w=w-D\text{\hspace{1em}(2)}$$
 网络链路中的丢包速率设为$p$，双向传输时延表示为$rtt$，这里认为这是个定值。在一个rtt内，收到的ack的间隔为：
$$\Delta t=\frac{rtt}{w}$$
 $\Delta t$时间内窗口的变化表示为下式，这个意思是说，发送端可能以概率p收到positive ack，而也有可能收到nack。当然这是理论分析，在TCP里，三次重复的ack会进行快速重传，并将降窗减半。
$$\Delta w=I(1-p)-Dp\text{\hspace{1em}(3)}$$
 流的发送速率表示为：
$$x=\frac{w}{rtt}\text{\hspace{1em}(4)}$$
 接下来推导x的微分方程。
x ˙ = d d t x = 1 r t t d w d t = 1 r t t Δ w Δ t = w r t t 2 { I ( 1 − p ) − D p } = x r t t { I ( 1 − p ) − D p } (5) \dot x=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}x=\frac{1}{rtt}\frac{\mathrm dw}{\mathrm dt}=\frac{1}{rtt}\frac{\Delta w}{\Delta t}=\frac{w}{rtt^2}\{I(1-p)-Dp\}=\frac{x}{rtt}\{I(1-p)-Dp\}\tag{5} x˙=dtd​x=rtt1​dtdw​=rtt1​ΔtΔw​=rtt2w​{I(1−p)−Dp}=rttx​{I(1−p)−Dp}(5)
 对于Reno算法来说，$I=\frac{1}{w},D=\frac{w}{2}$。于是：
$$\dot{x}=\frac{1-p}{rt{t}^2}-\frac{x^{2}p}{2}\text{\hspace{1em}(6)}$$
 使 $\dot{x}=0$，便可以得出TCP在equilibrium point的理论吞吐量：
$$x=\frac{1}{rtt}\sqrt{\frac{1-p}{p}}\text{\hspace{1em}(7)}$$

 速率的分配要保证公平性，下式定义公平系数(fairness index)：
$$FI=\frac{(\sum x_i{)}^2}{n\ast \sum (x_i^2)}\text{\hspace{1em}(8)}$$
从这个公式可以看出乘性减少速率，无益于公平性的提升，而加性增长系数$\alpha$才能影响公平性。[2]中有个很有意思的示意图。

[1]An Analysis of AIMD Algorithm with Decreasing Increases
[2]Analysis of the Increase/Decrease Algorithms for Congestion Avoidance in Computer Networks