拥塞控制与多径路由

 When you read a paper,you understand it from the perspective of reader,but when you write a review,you understand from the perspective of author and explain the key points to other readers.
 [1]我上学期就看过，但是今天再看的时候，没有一点印象。做笔记很重要，可以留下一些思考的印迹。
 网络可以建模为一个闭环反馈系统，可以通过控制理论分析其系统的稳定性。
 Kelly在1998年发表的论文[2],引入了经济学中的utility function，可以说开启了网络拥塞控制的理论分析时代。其主要理论基本就是两个公式，可以参考我之前写的博文[3]。Low又在里面深耕了几年，算是对于网络中的拥塞算法与主动队列管理的实例分析。[2]的引用量就达到了可怖的5500多次了。[2]可以算的是“网络拥塞控制的数学原理”。确实有这样一本书《the mathematics of internet congestion control》，讲的就是Kelly的两个式子。现在入门，大概也能弄些残羹冷炙。
 [1]讲明的是在路由器节点上搞多径，怎么控制数据流的分割比例。但是基于时延的代价函数，导致路由器队列时延的震荡。
 i,j表示相邻的路由器节点，$i\to j$为一条链路。
 在源节点，发送速率：
$x_{s(k)}^k=x^k\tag{1}$
 节点j(路由器)的inflow rate:
$x_{j}^k=\sum\limits_{i:(i,j)\in\textit{L}}y_{i,j}^k\tag{2}$.
 The outflow balance of node i is:
$x_{i}^k=\sum\limits_{j:(i,j)\in\textit{L}}y_{i,j}^k\tag{3}$.
 第一个问题，utility function maximization, $max \sum\limits_{k}U_k(x^k)$，约束为$y_l\leq c_l$.
 第二个问题，最大化：
$S:=\sum\limits_{k}U_k(x^k)-\sum\limits_{l}\phi_l(y_l)\tag{5}$.
 作者称S是经济学中的aggregate function。
 把一条数据流看为一个商品，用k表示。$\alpha_{i,j}^d$为目的为d，在链路(i,j)的数据流分割比例。
$y_{i,j}^k=\alpha_{i,j}^{d(k)}x_i^k\tag{6}$
定义i到d的代价：
$q_d^d=0,q_i^d=\sum\limits_{j:(i,j)\in\textit{L}}\alpha_{i,j}^d[p_{i,j}+q_j^d]\tag{8}$
 其中$\alpha_{i,j}^d$，节点i经由j最终发送至目的节点d的数据流的分割比例。$q_i^d$为i到d的代价，可以理解为时延。
 $q^k$为数据流$x_k$经历过所有链路的加权平均代价。$p_l$为数据流在子路径上的代价。
$x^kq^k=\sum\limits_{l\in L}y_l^kp_l\tag{9}$
 对(9)求导，并认为子链路上的代价在小尺度时间不变，但是路径分割比例随时间变化：
$\dot x_kq^k+x_k\dot q^k=\sum\limits_{l\in L}\dot y_l^kp_l\tag{10}$
$\dot x_kq^k=\sum\limits_{l\in L}\dot y_l^kp_l-\sum\limits_{(i,j)\in L}x_i^k\dot\alpha_{i,j}^{d(k)}[p_{i,j}+q_j^d]\tag{11}$
 另：
$\alpha_{i,j}^d\geq0,\sum\limits_{j:(i,j)\in\textit{L}}\alpha_{i,j}^d=1\tag{13}$
 对于导数$\dot\alpha_i^d$,加以以下约束：
1)
$\sum\limits_{j:(i,j)\in\textit{L}}\dot\alpha_{i,j}^d[p_{i,j}+q_j^d]\leq0\tag{14}$
 (3)式的约束，表示的就是对于代价小的路径，要增加相应路径上的$\alpha$的值，对于路径代价大的路径，要减少相应路径上的$\alpha$的值。假设节点i相连的节点只有j1,j2。$\pi_{i,j}^d=p_{i,j}+q_j^d$，假设$\pi_{i,j1}^d<\pi_{i,j2}^d$。有$\dot\alpha(\pi_{i,j1}^d+\pi_{i,j2}^d)=\frac{\pi_{i,j1}^d(\alpha1+\Delta\alpha)+\pi_{i,j2}^d(\alpha2-\Delta\alpha)-\pi_{i,j1}^d*\alpha1-\pi_{i,j2}^d*\alpha2}{\Delta t}<0$。
2)根据式(2)可得：
$\sum\limits_{j:(i,j)\in\textit{L}}\dot\alpha_{i,j}^d=0\tag{15}$
3)当一条$\dot\alpha_i^d=0$，说明通过数据流分割，各条路径代价达到均衡点，或者这条路径代价过大，没有被分配负载。
$q_i^d=p_{i,j}+q_j^d\ or\ \alpha_{i,j}^d=0\ and\ q_i^d<p_{i,j}+q_j^d\tag{16}$。
 可以找到满足上述约束1-3的$\dot\alpha$值。其中一个为：
$\dot\alpha_{i,j}^d=\beta_i( \overline{\pi_i^d}-\pi_{i,j}^d)$,增加代价小于代价平均值的链路上的数据分割比例，而减少剩下路径的分割比例。当然，增加数据流的发送，也会增加相应链路上的代价，最终达到equilibrium point。这种思想在wVegas也有体现，参看[4].
 这种在路由器节点上基于时延的路由，有严重的缺陷，同tcp协议数据包的有序性相违背。
[1]A unified approach to congestion control and node-based multipath routing(2009-ton)
[2]Rate control for communication networks: shadow prices, proportional fairness and stability
[3]Multipath TCP与网络效率最大化
[4]tcp拥塞控制vegas的数学分析