HDU 4002 欧拉函数

最新推荐文章于 2019-09-03 23:02:13 发布

zhangk64

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分类专栏： ACM_数论文章标签： phi

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本文详细介绍了如何通过数论的方法求解2到n之间的n/φ(n)为最大时的n。通过分解n为素数的幂次形式，利用欧拉函数φ(n)的性质，简化问题并逐步求解，最终得到一系列满足条件的n值，直至找到满足条件的n值大于10^100的情况。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

//比较水的数论题，自己想出来的，就写了个题解；

题意是求 2到n之间 n/phi(n) 为最大值时的n；
设 n=(p1^r1)*(p2^r2)*(p3^r3)......(pk*rk);
则 phi(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*......(1-1/pk)
即求 phi(n)/n 为最小时的n；

phi(n)/n=(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-p3)......(1-1/pk);

由此
2=2；

6=2*3；

30=2*3*5；

120=2*3*5*7；

2310=2*3*5*7*11；

......
依次求出前m个素数的乘积小于10^100；
因此每两个相邻素数（前x个乘积）之间的区间得到的是一个结果；

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define max 110
#define N 300

int s[max][max];
int p[N],mark[N],cnt;

//打出前x个素数乘积<=10^100的素数表；
void prime()  
{
   int i,j;
   cnt=0;
   memset(mark,0,sizeof(mark));
   for(i=2;i<N;i++)
   if(mark[i]==0)
   {
      p[cnt++]=i;
      mark[i]=1;
      for(j=i*i;j<N;j+=i)
      mark[j]=1;
   }
}

//大数相乘，10^100溢出； 
void multi(int a[],int k)    
{ 
   int i,j,t,tt,x;
   int flag=0;
   x=p[k];
   while(x)
   {
      t=x%10;
      if(t)
      for(j=flag,i=0;i<max;i++,j++)
      {
         tt=s[k][j]+t*a[i];
         if(tt>9)
         {
            s[k][j]=tt%10;
            s[k][j+1]+=tt/10;
         }
         else
         s[k][j]=tt;
      }
      flag++;
      x/=10;
   }
}

//打表； 
void init()
{
   int i;
   memset(s,0,sizeof(s));
   s[0][0]=2;
   for(i=1;i<56;i++)
   {
      multi(s[i-1],i);
   }
}

//比较大小； 
int cmp(char str[],int s[])
{
   int i;
   for(i=max-1;i>=0;i--)
   if(s[i]>(str[i]-'0'))
   return 1;
   else if(s[i]<(str[i]-'0'))
   return -1;
   return 0;
}

int main()
{
   int T,i,j,t,len;
   char ss[max],str[max];
   prime();
   init();
   scanf("%d",&T);
   while(T--)
   {
      scanf("%s",ss);
      len=strlen(ss);
      for(j=0,i=len-1;i>=0;i--,j++)
      str[j]=ss[i];
      for(;j<max;j++)
      str[j]='0';
      str[j]='\0';
  //    printf("str=%s\n",str);
      for(i=55;i>=0;i--)
      if(cmp(str,s[i])<=0)
      break;
      t=i;
      i=max-1;
      while(s[t][i]==0)
      i--;
      for(;i>=0;i--)
      printf("%d",s[t][i]);
      printf("\n");
   }
   return 0;
}