麻省理工课程多变量微积分的一点笔记

整理一下很久以前的一点笔记
由于大部分都是基础，所以只记录了从线积分开始的部分，并略去了例子和物理上的应用。这只作为复习的梗概，可以在相关教材上找到更详细的解释和例子。

19 平面向量和线积分

    向量场：多维向量函数（可以是一维的实） 例子：速度场
    线积分就是场沿光滑曲线的积分
    计算力轨迹做的功：这就是线积分的一个例子
$$\begin{array}{rl}W& ={\int }_C\overrightarrow{F}d\overrightarrow{r}=\underset{\Delta r_i\to 0}{\lim }\sum _i\overrightarrow{F}\Delta \overrightarrow{r}\\ & ={\int }_C\overrightarrow{F}\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}dt\\ & ={\int }_C\overrightarrow{F}\overrightarrow{v}dt\\ & ={\int }_C\overrightarrow{F}\overrightarrow{T}ds\end{array}$$
    其中$|\overrightarrow{T}|=1,方向为$overrightarrow{r}$的方向，即轨迹的单位切向量
    不同的情况用不同的形式可能简化积分，使计算更简单

20 路径独立和保守场

    线积分的微积分基本定理：
    C是一个从$P_0$到$P_1$的光滑曲线，$f$是一个值函数，则
$$\begin{array}{r}{\int }_C\nabla fd\overrightarrow{r}=f(P_1)-f(P_0)\end{array}$$

有以下的结论，在单连通区域上（后面会介绍）下面三个性质等价：
1. 路径独立：线积分只和起点和终点有关，和路径选取无关
2. $\overrightarrow{F}$是保守场:沿任意闭合曲线积分为0
3. $\overrightarrow{F}$是梯度场
4.$\overrightarrow{F}$旋度为0（后面会介绍）
1,2等价性显然，上面这个定理证明了$3\Rightarrow 2$,也证明了$3\Rightarrow 4$
而$1,2\Rightarrow 4$（利用曲线任意性），$4\Rightarrow 3$要利用格林公式或者更一般的斯托克斯定理

21 梯度和势函数

如果知道这个场是个梯度场，那怎么计算原函数？？？
我们设 $\overrightarrow{F}=⟨N,M⟩{\int }_C\overrightarrow{F}d\overrightarrow{r}={\int }_{C}Ndx+Mdy$
    则$f_x=N,f_y=M$,对两个式子都积分再求解会比较困难，我们可以对其中一个进行积分
    比如$f=\int Ndx=\bar{N}+g(y)$,接着对另外一个变量求偏导$f_y=\frac{\partial \bar{N}}{\partial y}+g^{\prime }(y)$
    联立得到$\frac{\partial \bar{N}}{\partial y}+g^{\prime }(y)=M$,这样就能求出$g^{\prime }(y)$进而求出$g$,从而得到$f$

符号$\oint$表示在闭合曲线上做积分
定义平面上的场$\overrightarrow{f}=<N,M>$的旋度为$curl(f)=N_x-M_y$
旋度的物理意义：度量场的旋转程度（符号代表方向）
    速度场旋度衡量的是旋转部分角速度的两倍
    力场中旋度衡量没一点所受到的扭矩
                        $\frac{扭矩}{转动惯量}=\frac{d角速度}{dt}$ 类比于 $\frac{力}{质量}=\frac{dv}{dt}$

22 格林公式

计算${\oint }_C\overrightarrow{F}d\overrightarrow{r}$的方式除了直接计算，另一种就是利用格林公式
定理：如果$C$为一条包围区域（单连通）为$R$逆时针的闭合曲线，$\overrightarrow{F}$为$R$上处处可微的向量场，则
$${\oint }_C\overrightarrow{F}d\overrightarrow{r}={\iint }_{R}curl(\overrightarrow{F})dA$$
证明：简化，假设N = 0(M = 0情况也一样，然后两种情况合并就得到一般的情况）
首先，将R分为简单区域，我们要证明等式对这些简单区域成立（所谓竖直简单区域就是表示成$a<x<b,f1(x)<y<f2(x)$的区域，单连通区域都能分成一些竖直/水平简单区域的并，共同边界的线积分相互抵消）
设R为竖直简单区域，C为逆时针，则
将曲线分为下右上左$C_1,C_2,C_3,C_4$,则