ACdream 1148 GCD SUM 莫比乌斯反演

最新推荐文章于 2023-11-06 15:45:12 发布

xiaoyu1_1

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分类专栏：莫比乌斯反演文章标签：莫比乌斯反演

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本文探讨了在程序算法中运用数学原理进行优化的方法，包括使用莫比乌斯反演解决特定问题，以及通过分块加速思想提升算法效率。详细介绍了如何通过数学公式计算特定变量的贡献，并提供了代码实现细节。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

给出N,M
执行如下程序：
long long ans = 0,ansx = 0,ansy = 0;
for(int i = 1; i <= N; i ++)
for(int j = 1; j <= M; j ++)
if(gcd(i,j) == 1) ans ++,ansx += i,ansy += j;
cout << ans << " " << ansx << " " << ansy << endl;

求ans，比较简单

求ansx，（ansy同理）

定义A(i),gcd(a,b)=i时，加到ansx上的和

定义B(i),gcd(a,b)=i，2*i，3*i……时，加到ansx上的总和

B(i)=A(i)+A(2*i)+A(3*i)+……

莫比乌斯反演得：

A(i)=μ(1)*B(i)+μ(2)*B(2*i)+μ(3)*B(3*i)+……

A(1)=μ(1)*B(1)+μ(2)*B(2)+μ(3)*B(3)+……

B(i)=(n/i+1)*(n/i)/2*i * (m/i);

即可用莫比乌斯求解该题，再加上分块加速思想的优化。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#define ll long long
using namespace std;
#define N 100000

int mib[N+10];
int f[N+10];
ll ff[N+10];
bool vis[N+10];
void mobius()
{
	int i,j;
	for(i=1;i<=N;i++) mib[i]=1,vis[i]=false;
	for(i=2;i<=N;i++)
	{
		if(vis[i]) continue;
		for(j=i;j<=N;j+=i)
		{
			vis[j]=true;
			if((j/i)%i==0)
			{
				mib[j]=0;
				continue;
			}
			mib[j]=-mib[j];
		}
	}
	f[0]=ff[0]=0;
	for(i=1;i<=N;i++)
	{
		f[i]=f[i-1]+mib[i];
		ff[i]=ff[i-1]+(ll)mib[i]*i;
	}
}

int main()
{
	int n,m,i,j,k;
	mobius();
	while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
	{
		ll ans=0,ansx=0,ansy=0;
		int t=min(n,m);
		for(i=1;i<=t;i=j+1)
		{
			j=min(n/(n/i),m/(m/i));
			ans+=(ll)(f[j]-f[i-1])*(m/i)*(n/i);
			ansx+=(ll)(ff[j]-ff[i-1])*(n/i+1)*(n/i)/2*(m/i);
			ansy+=(ll)(ff[j]-ff[i-1])*(m/i+1)*(m/i)/2*(n/i);
		}
		printf("%lld %lld %lld\n",ans,ansx,ansy);
	}
}