《算法导论》学习笔记之Chapter5.1

5.1-2

问题：请描述RANDOM(a, b)过程的一种实现，它只调用RANDOM(0, 1)。作为a和b的函数，你的过程的期望运行时间是多少？

伪代码：

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1. RANDOM(a, b)  
2. 1   n = b - a + 1  
3. 2   generate a new array A[1..<lgn>]  //<lgn>表示大于等于lgn的整数  
4. 3   result = a - 1  //待返回的结果  
5. 4   while t not belong to [a, b]  
6. 5       for i = 1 to A.length  
7. 6           A[i] = RANDOM(0, 1)  
8. 7           result += A[i]x2^(A.length - i)  
9. 8   return result  

代码实现：

[cpp]  view plain  copy

1. #include <iostream>  
2. #include <stdlib.h>  
3. #include <time.h>  
4. #include <vector>  
5. #include <cmath>  
6.   
7. using namespace std;  
8.   
9. int RANDOM_0_1(void)  
10. {  
11.     return rand() % 2;  
12. }  
13.   
14. int RANDOM(int a, int b)  
15. {  
16.     unsigned int n = b - a + 1;  
17.     int num;  
18.     if(pow(2, (int)(log(n) / log(2))) == n)  
19.     {  
20.         num = log(n) / log(2);  
21.     }  
22.     else  
23.     {  
24.         num = (log(n) / log(2) + 1);    //向上取整  
25.     }  
26.     vector<int> A(num, 0);  
27.     int result = a - 1;  
28.     bool flag = true;  
29.     while(result < a || result > b)  
30.     {  
31.         if(flag)  
32.         {  
33.             result += 1;  
34.             flag = false;  
35.         }  
36.         for(int i = 0 ; i < A.size() ; ++i)  
37.         {  
38.             A[i] = RANDOM_0_1();  
39.             result += A[i]*pow(2, A.size() - i - 1);  
40.         }  
41.     }  
42.     return result;  
43. }  
44.   
45. int main()  
46. {  
47.     srand((unsigned)time(NULL));  
48.     for(int i = 0 ; i < 100 ; ++i)  
49.         cout << RANDOM(0, 7) << ", ";  
50.     cout << endl;  
51.   
52.     return 0;  
53. }  

运行结果：

运行时间分析：

我们假设当随机产生的数落入区间：[a, b]闭区间时为成功，概率为p，则：，相反，失败时概率为1-p；程序中的while循环档出现一次成功时就结束循环，返回结果，令X表示从开始直到出现第一次成功的次数，X服从几何分布；由于几何分布的期望公式为：，生成一个θ(log(b-a+1))维数组的时间为：θ(log(b-a))；while循环中的内层循环的时间同样为θ(log(b-a))，而该内层循环的执行次数为X的期望次那么多，故函数整体期望运行时间为：θ(log(b-a))。