多重背包:
题意:给定n件物品和容量为c的背包,每种物品的价值为w[i],所占容量为m[i],数量为num[i]。求不超过背包容量的情况下,所选取的物品的价值最大。
转移方程:dp[i][j] = maxn{dp[i-1][j-x*m[i]] + w[i]} ( x <= num[i] && x*m[i] <= j )
朴素算法虽然慢,但是还是的写一写,练练手。
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2191
复杂度为O(v*\sigma{n[i]})
关键代码:
for(int i = 0; i < m; i ++){
for(int j = 0; j < bag[i]; j ++){
for(int k = n; k >= price[i]; k --){
if(dp[k] < dp[k-price[i]] + weight[i])
dp[k] = dp[k-price[i]] + weight[i];
}
for(int l = 0; l <= n; l ++)
cout << dp[l] << " ";
cout << endl;
}
}
cout << dp[n] << endl;
逆序循环可以保证转移到的是上一状态
对于数据量太大时,我们朴素算法可能无力解决。这是我们对于我们物品数量时,可以采用二进制优化,具体就是加上述代码中的第二位循环不是逐个选取,而是选取k为1, 2, 4, 2^k, n[i] - 2^k + 1
for(int i = 0; i < m; i ++){
int left = bag[i];
for(int j = 1; j <= left; j <<= 1){
for(int k = n; k >= j*price[i]; k --){
if(dp[k] < dp[k-j*price[i]] + j*weight[i])
dp[k] = dp[k-j*price[i]] + j*weight[i];
}
left -= j;
}
if(left > 0){
for(int k = n; k >= left*price[i]; k --){
if(dp[k] < dp[k-left*price[i]] + left*weight[i])
dp[k] = dp[k-left*price[i]] + left*weight[i];
}
}