多重背包

最新推荐文章于 2025-05-21 16:29:59 发布

robotcator

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分类专栏：背包问题

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本文详细介绍了多重背包问题的定义及解决方法，包括朴素算法及其时间复杂度，并提出了使用二进制优化来处理大规模数据的方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

多重背包：

题意：给定n件物品和容量为c的背包，每种物品的价值为w[i]，所占容量为m[i]，数量为num[i]。求不超过背包容量的情况下，所选取的物品的价值最大。

转移方程：dp[i][j] = maxn{dp[i-1][j-x*m[i]] + w[i]} ( x <= num[i] && x*m[i] <= j )

朴素算法虽然慢，但是还是的写一写，练练手。

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2191

复杂度为O（v*\sigma{n[i]}）

关键代码：

for(int i = 0; i < m; i ++){
      for(int j = 0; j < bag[i]; j ++){
        for(int k = n; k >= price[i]; k --){
          if(dp[k] < dp[k-price[i]] + weight[i])
            dp[k] = dp[k-price[i]] + weight[i];
        }
        for(int l = 0; l <= n; l ++)
          cout << dp[l] << " ";
        cout << endl;
      }
}
 cout << dp[n] << endl;

逆序循环可以保证转移到的是上一状态

对于数据量太大时，我们朴素算法可能无力解决。这是我们对于我们物品数量时，可以采用二进制优化，具体就是加上述代码中的第二位循环不是逐个选取，而是选取k为1， 2， 4， 2^k, n[i] - 2^k + 1

for(int i = 0; i < m; i ++){
      int left = bag[i];
      for(int j = 1; j <= left; j <<= 1){
          for(int k = n; k >= j*price[i]; k --){
            if(dp[k] < dp[k-j*price[i]] + j*weight[i])
              dp[k] = dp[k-j*price[i]] + j*weight[i];
          }
          left -= j;
      }
      if(left > 0){
        for(int k = n; k >= left*price[i]; k --){
            if(dp[k] < dp[k-left*price[i]] + left*weight[i])
              dp[k] = dp[k-left*price[i]] + left*weight[i];
          }
}