陈省身文集46——最近数学的若干发展和中国的数学



——原载《科学》第49卷第1期，上海，1997年。
数学是一门演绎的学问，从一组公设，经过逻辑的推理，获得结论。因此结果是十分坚强的。它会有用，是可以想像的。但应用的广泛与深刻，则到了神妙的地步，非常理可以预料的了。以下就最近数学的发展，举若干故事为谈助。
1有限单群
数学的发展中有一个突出的观念叫做“群”。要研究群的结构，自然应研究群的子群，即在同一运算下成群的子集。命G为群，H真包含于G为一子群。如对任何g∈G，g-1Hg真包含于H，则H称为正则（normal）的。正则子群的存在，可使群G的研究变为子群H及商群G/H的研究，而因此简单化。
大致说来，没有正则子群的群叫做单群（simple group）。这名词有点滑稽；显然单群并不简单。关于单群，有限群论中有一个深刻的定理，叫做费特一汤普森定理：单群的级（order，即元素的个数）是偶数。
有限群论的一个奇特现象，是除了一些传统群外，有某些零星的单群。现在所知最大零星单群的级是
808017…000000，
共有54位数。这是费希尔与格里斯发现的。数学家叫它为“怪物”（monster）。这当然是一个十分奇怪的群。有专家说，所有的有限单群都在这里了。这结果的证明，听说需1000页，也没有人完全写下来。千页的证明，含有错误的可能性是很大的。
这样，数学就起了疑问：长证明算不算证明？计算机检验到某一高度算不算证明？这是目前的一个聚讼的问题。
2椭圆曲线
所谓费马的最后定理说，方程式x^n+y^n=z^n,n>2,xyz!=0没有整数解（x，y，z）。
这个传说了300多年的结果，最近由英国数学家怀尔斯及泰勒证明了。这当然是近几年来数学界的一件大事。全文见1995年的《数学纪事》[1,2]。证明中使用的一个基本工具，叫做“椭圆曲线”。这是代数数论的一支。有以下一则故事：英国的大数学家哈代有一天去医院探望他的朋友、印度天才数学家拉马努金。哈代的汽车号是1729。他向拉马努金说，这数目没有意思。拉马努金回答说，不然，这是最小的数，可用两种不同方法，写为两个立方数的和的，如1729=1^3+12^3=9^3+10^3，
这结果可用椭圆曲线来证明。