算法导论（九）——图

算法导论（九）——图

 

广度优先搜索（Breadth First Search）：从一个顶点开始，搜索所有可到达的顶点。它将邻接未访问点都加入队列，在对当前访问点进行邻接搜索。从图的某个顶点v₀出发，在访问v₀之后，依次搜索访问v₀的各个未被访问过的邻接点w₁，w₂，…。然后顺序搜索访问w₁的各未被访问过的邻接点，w₂的各未被访问过的邻接点，…。——》使用队列

【类似二叉树的层次遍历】

virtual void bfs(int v,int reach[],int label) {

       arrayQueue<int>q(10);

       q.push(v);

       reach[v]= label;//from v

       while(!q.empty()) {

       //delet ewhich had been labeled

              int w = q.front();

              q.pop();

              //adjacent vertex

              vertex Iterator<T>*iw = iterator(w);

              int u;

              while((u=iw->next())!=0){

                     if(reach[u] == 0) {

                            q.push(u);

                            reach[u]= label;

                     }

      }

              delete iw;

       }

}

在实际操作时，针对邻接加权有向图 (a[w][u])或链接图(u=aList[w].firstNode,u=u->next)，采用定制版的代码能提高效率，主要改动是搜索邻接w的未访问的顶点部分。参考P409.

深度优先搜索（Depth First Search）：它将邻接未访问点当作候选，从某个点开始搜索，终止时返回上一级搜索。

【类似二叉树的前序遍历】

void dfs(int v, int reach[], int label) {

       graph<T>::reach= reach;

       graph<T>::label= label;

       rDfs(v);

}

void rDfs(int v){

       reach[v]= label;

       vetexIterator<T>*iv = iterator(v);

       intu;

       while((u = iv->next) != 0) {

              rDfs(u);

       }

       deleteiv;

}

详细代码见：http://blog.chinaunix.net/uid-26548237-id-3483650.html

比较：两种方法具有相同的时间和空间复杂性，不过它们的最好和最坏情况恰好相对。深度优先搜索效率更高用得更多。

 

最短路径算法，

1.    单源路径——Dijkstra Alg【最短路径的子路径也是最短路径】局限于边的权值非负的情况

//http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html//初始顶点v0,图的初始信息存于邻接矩阵adjMat中

#define NUM 8#define MAXINT 32767void AdjMatrix(int adjMat[][NUM]) {//邻接矩阵表示法 for (int i = 0;i < NUM;i++) {  for (int j = 0;j < NUM;j++) {   adjMat[i][j] = MAXINT;  } } adjMat[0][1] = 6; adjMat[0][2] = 1; adjMat[0][3] = 5; adjMat[1][0] = 6; adjMat[1][2] = 5; adjMat[1][4] = 3; adjMat[2][0] = 1; adjMat[2][1] = 5; adjMat[2][3] = 5; adjMat[2][4] = 6; adjMat[2][5] = 4; adjMat[3][0] = 5; adjMat[3][2] = 5; adjMat[3][5] = 2; adjMat[4][1] = 3; adjMat[4][2] = 6; adjMat[4][5] = 6; adjMat[5][2] = 4; adjMat[5][3] = 2; adjMat[5][4] = 6;}

void Dijkstra(const int v0) { int d[NUM];//距离 int p[NUM];//前连接点 bool v[NUM];//访问标记 int adjMat[NUM][NUM] = { 0 }; for (int i = 0;i < NUM;i++) {  AdjMatrix(adjMat);  d[i] = adjMat[v0][i];  v[i] = false;  if (d[i] == MAXINT)   p[i] = -1;  else   p[i] = v0; } d[v0] = 0; v[v0] = true; for (int j = 2;j < NUM;j++) {  int mind = MAXINT;  int mini = v0;  for (int i = 0;i < NUM;i++) {   if ((!v[i])&&d[i] < mind) {    mind = d[i];    mini = i;   }  }  v[mini] = true;  for (int i = 0;i < NUM;i++) {   if ((!v[i]) && adjMat[mini][i] < MAXINT) {    if (d[mini] + adjMat[mini][i] < d[i]) {     d[i]=d[mini] + adjMat[mini][i];     p[i] = mini;    }   }  }  }

}

Floyd-Warshall算法：是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N³)，空间复杂度为O(N²)。【十字交叉法】

http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html

差分约束系统：http://blog.youkuaiyun.com/consciousman/article/details/53812818

Johnson算法：能在O(V2lgV+VE)的时间内解决所有结点对最短路径问题，对于大型稀疏图来说这是一个很好的算法

总结：http://blog.youkuaiyun.com/gqtcgq/article/details/45621591

面试常见问题：

1.    判断图是否存在环G=(V,E)

无向图：

①   i)如果E>=V，则根据图论知识可直接判断存在环路。（证明：如果没有环路，则该图必然是k棵树 k>=1。根据树的性质，E=V-k）             

    ii)如果E<V,

1.求出图中所有顶点的度，

2.删除图中所有度<=1的顶点以及与该顶点相关的边，把与这些边相关的顶点的度减一

3.如果还有度<=1的顶点重复步骤2

4.最后如果还存在未被删除的顶点，则表示有环；否则没有环   复杂度O（E+V），

注：初始时刻统计所有顶点的度的时候，复杂度为(V + E)，最差的复杂度就为O(EV)了。

 

②遍历整图，找到连通域P个，若 E + P > V,则原图有环，否则无环

 

③ DFS搜索图，在遍历的过程中，发现某个节点有一条边指向已经访问过的节点，并且这个已访问过的节点不是当前节点的父节点，则表示存在环。该算法的复杂度为O(V)。

为防止环重复计算，将节点分为白、灰、黑三种状态。

【http://blog.youkuaiyun.com/u010040029/article/details/52861473】

 

有向图：

①拓扑排序，若不能完成则含有环

计算图中所有点的入度，把入度为0的点加入栈；如果栈非空：（ 取出栈顶顶点a，输出该顶点值，删除该顶点，从图中删除所有以a为起始点的边，如果删除的边的另一个顶点入度为0，则把它入栈）；如果图中还存在顶点，则表示图中存在环；否则输出的顶点就是一个拓扑排序序列

 

②强连通域（对于一个图的某个子图，该子图中的任意u->v,必有v->u）

 

③改进的DFS。将深搜的点加一个特殊标记，如果从当前的点往下搜的时候，发现了这个特殊标记，立刻判定有环。【http://blog.youkuaiyun.com/panhe1992/article/details/8366466】

或者是每个节点标记成白、灰、黑三种状态，按照节点标记为黑色的时间，越先标记为黑色，在拓扑序列中越靠后（栈） 【http://blog.youkuaiyun.com/u010040029/article/details/52861473】