bzoj 2654 tree （二分 + 最小生成树）

最新推荐文章于 2021-07-21 10:05:38 发布

阿柟的小星星

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分类专栏：最小生成树文章标签：最小生成树

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本文介绍了一种使用二分法解决特定数量白色边的最小生成树问题的方法。通过调整白色边的权重，实现了生成树中白色边数量的精确控制，并详细解释了算法原理及其实现细节。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给你一个无向带权连通图，每条边是黑色或白色。让你求一棵最小权的恰好有need条白色边的生成树。
题目保证有解。

Input

第一行V,E,need分别表示点数，边数和需要的白色边数。
接下来E行,每行s,t,c,col表示这边的端点(点从0开始标号)，边权，颜色(0白色1黑色)。

Output

一行表示所求生成树的边权和。
V<=50000,E<=100000,所有数据边权为[1,100]中的正整数。

Sample Input

2 2 1

0 1 1 1

0 1 2 0

Sample Output

题解

woc打完代码之后发现和大佬的代码相似度99%……可怕
考试的时候完全没有思路，考完之后评讲：二分？那是什么?
果然我还是见识得太少了。第一次见二分可以这样用来着。
二分一个权值，使白边的边权集体增加一个mid；这样做能的目的是调整每一次最小生成树中白边的数量。显然白边的边权加得越多，对于白边的选择就越少，这是单调递增的。而即使白边加上了权值，只要得出的树的形态是固定的，那么它的权值就还能再减回去。答案就是加上权值跑出来白边的边数为need时的答案-need*mid。这样就能保证正确性了。
至于还有一种情况：当存在一个mid，使跑出来的树白边的比need多，而mid+1却比need少，这时考虑树中一定存在黑边，且这些黑边的权值和加上mid之后的白边的权值相同（因为保证有解）。那么就假想可以用这些黑边替换掉多余的白边就可以了。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1000020;

struct Node {
    int u, v, w, c, next;
} e[N];
int n, m, need, now, ans, num = 0, head[N], fa[N];

void add(int u, int v, int w, int c) {
    num ++;
    e[num].u = u; e[num].v = v; e[num].c = c;
    e[num].w = w; e[num].next = head[u]; head[u] = num;
}

bool cmp(const Node &a, const Node &b) {
    if(a.w == b.w) return a.c < b.c;
    return a.w < b.w;
}

int find(int x) {
    if(x == fa[x]) return x;
    return fa[x] = find(fa[x]);
}

bool check() {
    int tot = 0, sum = 0; now = 0;
    sort(e + 1, e + m + 1, cmp);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) fa[i] = i;
    for(int i = 1; i <= m; i ++) {
        int fx = e[i].u, fy = e[i].v;
        if(fx == fy) continue;
        fa[fy] = fx; 
        now += e[i].w; sum += ! e[i].c;
        if(++ tot == n - 1) break;
    }
    if(sum >= need) return true;
    else return false;
}

int main() {
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &need);
    for(int i = 1; i <= m; i ++) {
        int u, v, w, c;
        scanf("%d %d %d %d", &u, &v, &w, &c);
        add(u, v, w, c);
    }
    int l = - 101, r = 101, mid;
    while(l <= r) {
        mid = l + r >> 1;
        for(int i = 1; i <= m; i ++)
            if(! e[i].c) e[i].w += mid;
        if(check()) l = mid + 1, ans = now - need * mid;
        else r = mid - 1;
        for(int i = 1; i <= m; i ++)
            if(! e[i].c) e[i].w -= mid;
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}