算法导论 4.3-4

1 题目

主方法能否应用于递归式T(n)=4T(n/2)+n² lgn？为什么？给出此递归式的渐近上界。

2 分析与解答

n^{log_b a}=n²,所以f(n)比较大，但是f(n)/n²=lgn渐近小于n^ε ，所以f(n)不是多项式大，所以不能用主定理。

使用替换法找T(n)的渐近上界，尽管f(n)不是T(n)的渐近确界，但是由于它比较大，我们猜测T(n)的渐近上界由他决定，所以猜测T(n)=O(n² lgn)。

证明：若猜测正确，有T(n) <= cn² lgn，代入递归式有：

T(n)<=4c(n/2)² lg(n/2) + n² lgn = cn² lgn - cn² + n² lgn；

显然n² lgn - cn² 在n足够大的情况下，总是大于0的，所以是不能证明渐近上界的。因此我们把渐近上界扩大，猜测T(n)=O(n² lg² n)，代入递归式有：

T(n)<=4c(n/2)² lg² (n/2) + n² lgn = cn²(lgn - 1)² + n² lgn = cn² lg² n -((2c - 1)n² lg n - cn²)；

从式中可见，只要2c-1 >= c，即c>=1，那么就有当n>=2时，(2c - 1)n² lg n - cn² >=0，此时就有T(n) <= cn² lg² n；

我们取c=1，n₀ =2，那么就存在c和n₀ ，当n>=n₀ 时，T(n)<=cn² lg² n；也就是T(n)=O(n² lg² n)